《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

例7 [信阳光山县期末]阅读下面的材料：
对于实数$a,b$，我们定义符号$\min\{a,b\}$的意义为：当$a＜b$时，$\min\{a,b\}=a$；当$a\geqslant b$时，$\min\{a,b\}=b$，如：$\min\{4,-2\}=-2$，$\min\{5,5\}=5$。
根据上面的材料回答下列问题：
(1) $\min\{-1,3\}= $______；
(2)当$\min\{\frac{2x - 3}{2},\frac{x + 2}{3}\}=\frac{x + 2}{3}$时，求$x$的取值范围。
分析：(1)比较 -1与3的大小，即可得出$\min\{-1,3\}=-1$。
(2)理解新定义的计算公式，得出$\frac{2x - 3}{2}$与$\frac{x + 2}{3}$的大小关系，解不等式即可求出$x$的取值范围。
解：(1) -1
(2)根据题意，得$\frac{2x - 3}{2}\geqslant\frac{x + 2}{3}$，
解得$x\geqslant\frac{13}{4}$。
所以$x$的取值范围为$x\geqslant\frac{13}{4}$。

答案：

举一反三训练
7 - 1 [安康汉阴县期末]我们把$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$叫作二阶行列式，规定它的运算法则为$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$。例如$\begin{vmatrix}1&3\\2&4\end{vmatrix}=1×4 - 3×2=-2$。
若$\begin{vmatrix}2&3 - x\\1&x\end{vmatrix}＞0$，则$x$的取值范围是(　　　)
A. $x＞3$
B. $x＜-3$
C. $x＜-1$
D. $x＞1$

答案： 7-1 D

7 - 2 [开放性问题][襄阳樊城区期末]定义一种运算法则“$\otimes$”：$a\otimes b=\begin{cases}a(a＞b)\\b(a\leqslant b)\end{cases}$，如：$1\otimes2 = 2$。若$(m - 1)\otimes3 = 3$，填一个合适的$m$的值：______，使式子成立。

答案： 7-2 4(答案不唯一) 【解析】因为$(m - 1)\otimes3 = 3$，所以m - 1≤3，解得m≤4，所以合适的m的值小于或等于4即可(答案不唯一).

7 - 3 对于实数对$(a,b)$，定义偏左数为$P_{l}=\frac{2a + b}{3}$，偏右数为$P_{r}=\frac{a + 2b}{3}$。对于实数对$(x - 1,3)$，若$P_{l}-P_{r}＞1$，求$x$的取值范围。

答案： 7-3 解:根据题意,得$P_{l}=\frac{2(x - 1)+3}{3}=\frac{2x + 1}{3}$,
$P_{r}=\frac{x - 1+2×3}{3}=\frac{x + 5}{3}$.
因为$P_{l}-P_{r}＞1$,所以$\frac{2x + 1}{3}-\frac{x + 5}{3}＞1$,解得x＞7.

例8 如图，电脑上有一个小程序，每按一次左键，屏幕上的结果加1；每按一次右键，屏幕上的结果减2。已知屏幕上设定的初始数字是3，且每轮操作按10次键。
(1)在一轮操作中，已知按了3次左键，7次右键，则屏幕上最后的结果为______；
(2)在一轮操作中，已知按了$n$次左键，且这轮操作结束后屏幕上的结果是正数，求$n$的最小值。
思路分析
(1)按了3次左键，屏幕上的结果加$3×1$，按了7次右键，屏幕上的结果减$7×2$，所以屏幕上最后的结果为$3 + 3×1 - 7×2=-8$。
(2)
解：(1) -8
(2)由题意可得$3 + n-(10 - n)×2＞0$，
解得$n＞\frac{17}{3}$。
因为$n$为正整数，
所以$n$的最小值为6。

答案：

举一反三训练
8 - 1 如果点$M(2m + 2,3)$在第二象限，那么$m$的取值范围是______。

答案： 8-1 m＜-1

8 - 2 如图，在数轴上的点$M,N$分别表示数1,$-3x + 2$，则$x$的取值范围是______。

答案： 8-2 $x＜\frac{1}{3}$ 

8 - 3 [武汉黄陂区期末]对于一个实数$x$，按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数$x$”到“结果是否大于89”为一次操作。如果只进行一次操作就停止，那么$x$的取值范围是______。

答案： 8-3 x＞32

8 - 4 如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点(网格线的交点)上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积$S$可用公式$S=a+\frac{1}{2}b - 1$（$a$是多边形内的格点数，$b$是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”。若有一个格点多边形的面积为9，则$b$的最大值为(　　　)

A. 17
B. 18
C. 19
D. 20

答案： 8-4 D 【解析】因为格点多边形的面积为9,所以$a+\frac{1}{2}b - 1 = 9$.又因为a≥0,所以$\frac{1}{2}b - 1≤9$,所以b≤20,所以b的最大值为20.