《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

2 - 1 [★★☆]下面是状状、成成两名同学同时解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}mx + y = 5,\\2x - ny = 13\end{cases}$时的情形.
我好像把$m$看错了,得到的解是$\begin{cases}x = \frac{7}{2},\\y = -2,\end{cases}$你呢?
我也没做对,因为我把$n$抄错了,得到的解是$\begin{cases}x = 3,\\y = -7.\end{cases}$
请你根据他们的对话,求出$(n - m)^3$的值.
2 - 2 [★★☆]解方程组$\begin{cases}ax + by = -3,\\cx - 4y = -6\end{cases}$时,小明把$c$写错了,得到的解是$\begin{cases}x = -5,\\y = -1,\end{cases}$而正确的解是$\begin{cases}x = 2,\\y = 1.\end{cases}$求$a,b,c$的值.

答案： 解：由题意可知$\begin{cases}x = \frac{7}{2}\\y = -2\end{cases}$是方程$2x - ny = 13$的正确解，$\begin{cases}x = 3\\y = -7\end{cases}$是方程$mx + y = 5$的正确解.
把$\begin{cases}x = \frac{7}{2}\\y = -2\end{cases}$代入$2x - ny = 13$，得$7 + 2n = 13$，解得$n = 3$；
把$\begin{cases}x = 3\\y = -7\end{cases}$代入$mx + y = 5$，得$3m - 7 = 5$，解得$m = 4$.
所以$(n - m)^2 = (3 - 4)^2 = (-1)^2 = 1$.

2 - 2 [★★☆]解方程组$\begin{cases}ax + by = -3,\\cx - 4y = -6\end{cases}$时,小明把$c$写错了,得到的解是$\begin{cases}x = -5,\\y = -1,\end{cases}$而正确的解是$\begin{cases}x = 2,\\y = 1.\end{cases}$求$a,b,c$的值.

答案： 解：由题意可知$\begin{cases}x = -5\\y = -1\end{cases}$和$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$都是方程$ax + by = -3$的解，$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$是方程$cx - 4y = -6$的解. 把$\begin{cases}x = -5\\y = -1\end{cases}$，$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$分别代入$ax + by = -3$，得$\begin{cases}-5a - b = -3\\2a + b = -3\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 2\\b = -7\end{cases}$. 把$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$代入$cx - 4y = -6$，得$2c - 4 = -6$.解得$c = -1$. 所以$a = 2$，$b = -7$，$c = -1$. 

例 3 [★★☆](一题多解)已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x + 5y = 2m,①\\x + y = m - 1 ②\end{cases}$的解满足$x + 2y = 2$,求$m$的值.
解法一:②×3,得$3x + 3y = 3m - 3$.③
① - ③,得$2y = -m + 3,y = \frac{-m + 3}{2}$.
把$y = \frac{-m + 3}{2}$代入②,得$x = \frac{3m - 5}{2}$.
因为方程组$\begin{cases}3x + 5y = 2m,\\x + y = m - 1\end{cases}$的解满足$x + 2y = 2$,
所以$\frac{3m - 5}{2} + 2×\frac{-m + 3}{2} = 2$.
解得$m = 3$.
解法二(整体思想):① - ②,得$2x + 4y = m + 1$.
所以$x + 2y = \frac{m + 1}{2}$.
因为$x + 2y = 2$,所以$\frac{m + 1}{2} = 2$,解得$m = 3$.

答案：