《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

例5 $x$取哪些整数值时，不等式$4x - 6 ＜ 5(x - 1)$与$\frac{x}{2} - 1 \leq \frac{2 - x}{3}$都成立？
分析：使两个不等式都成立的$x$的值，就是两个不等式的公共解. 因此求出由这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是$x$可取的整数值.
解：解不等式组$\begin{cases}4x - 6 ＜ 5(x - 1), \\\frac{x}{2} - 1 \leq \frac{2 - x}{3},\end{cases}$得$- 1 ＜ x \leq 2$.
所以$x$可取的整数值是0，1，2.

答案：

举一反三训练
5 - 1 [仙桃期末]不等式组$\begin{cases}2x ＜ 8, \\4x - 1 ＞ x + 2\end{cases}$的所有正整数解的和是______.
5 - 2 $x$取哪些整数值时，不等式$2(x + 3) ＞ x + 4$与$x - 1 \leq \frac{3}{4}x - \frac{1}{8}$都成立？

答案： 5-1 5
5-2 解：解不等式组$\begin{cases}2(x + 3)＞x + 4 \\ x - 1\leqslant\frac{3}{4}x-\frac{1}{8} \end{cases}$得$-2＜x\leqslant\frac{7}{2}$.
所以$x$可取的整数值是$-1,0,1,2,3$.

例6 [一题多解]当$x$取哪些整数值时，$- 3 \leq \frac{2x - 1}{3} ＜ 7$成立？
思路分析
解法一→改写为一般形式的不等式组→分开解，集中找
解法二→直接运用不等式的性质求解→化为$a \leq x ＜ b$的形式
解法一（转化法）：把原不等式组转化为$\begin{cases}\frac{2x - 1}{3} \geq - 3, \\\frac{2x - 1}{3} ＜ 7.\end{cases}$
形如$m ＜ x ＜ n$的不等式组可转化为不等式组$\begin{cases}x ＞ m, \\x ＜ n.\end{cases}$
不等式组的解集为$- 4 \leq x ＜ 11$.
$x$可以取的整数值有$- 4$，$- 3$，$- 2$，$- 1$，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
解法二（性质法）：三边乘3，得$- 9 \leq 2x - 1 ＜ 21$.
三边加1，得$- 8 \leq 2x ＜ 22$.
三边除以2，得$- 4 \leq x ＜ 11$.
所以原不等式组的解集为$- 4 \leq x ＜ 11$.
$x$可以取的整数值有$- 4$，$- 3$，$- 2$，$- 1$，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.

答案：

举一反三训练
6 - 1 不等式组$1 ＜ 2x - 3 ＜ x + 1$的解集是( )
A.$1 ＜ x ＜ 2$ B.$2 ＜ x ＜ 3$
C.$2 ＜ x ＜ 4$ D.$4 ＜ x ＜ 5$

答案： 6-1 C

6 - 2 [武汉江岸区期末]$x$取哪些整数值时，$2 \leq 3x - 7 ＜ 11$成立( )
A.2，3，4 B.3，4，5
C.4，5，6 D.3，4，5，6

答案： 6-2 B 【解析】解不等式组$\begin{cases}3x - 7\geqslant2 \\ 3x - 7＜11 \end{cases}$得$3\leqslant x＜6$.所以$x$可取的整数值是$3,4,5$.

6 - 3 当$x$取哪些整数值时，$- 1 ＜ \frac{1}{4}(3 - 2x) + 1 \leq 2$成立？

答案： 6-3 解：把原不等式组转化为$\begin{cases}\frac{1}{4}(3 - 2x)+1＞-1 \\ \frac{1}{4}(3 - 2x)+1\leqslant2 \end{cases}$.
解不等式组，得$-0.5\leqslant x＜5.5$.
所以$x$可以取的整数值有$0,1,2,3,4,5$.