《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

类型 2 换元法
例 2 解方程组：$\begin{cases}5(x + y)-3(x - y)=2,\\2(x + y)+4(x - y)=6.\end{cases}$
解：设$x + y = A$，$x - y = B$，则原方程组可变形为$\begin{cases}5A - 3B = 2,\\2A + 4B = 6.\end{cases}$解得$\begin{cases}A = 1,\\B = 1.\end{cases}$
所以$\begin{cases}x + y = 1,\\x - y = 1.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1,\\y = 0.\end{cases}$所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 0.\end{cases}$
我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫作“换元法”。
请用这种方法解方程组：$\begin{cases}\frac{x + y}{2}+\frac{x - y}{3}=6,\\2(x + y)-3(x - y)=24.\end{cases}$
解：设$x + y = A$，$x - y = B$，则原方程组可变形为$\begin{cases}\frac{A}{2}+\frac{B}{3}=6,\\2A - 3B = 24.\end{cases}$
解得$\begin{cases}A = 12,\\B = 0.\end{cases}$所以$\begin{cases}x + y = 12,\\x - y = 0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 6,\\y = 6.\end{cases}$所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 6,\\y = 6.\end{cases}$

答案：

2 - 1 解下列方程组：
(1)[黄石阳新县期末]$\begin{cases}3(x + y)-4(x - y)=12,\\\frac{x + y}{2}+\frac{x - y}{6}=7;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\frac{2x + 3y}{4}+\frac{2x - 3y}{3}=7,\\\frac{2x + 3y}{3}+\frac{2x - 3y}{2}=8.\end{cases}$

答案： 解:
(1)设x+y=t,x−y=z,则原方程组可变形为$\begin{cases}3t - 4z = 12,\\\frac{t}{2}+\frac{z}{6}=7.\end{cases}$解得$\begin{cases}t = 12,\\z = 6.\end{cases}$所以$\begin{cases}x + y = 12,\\x - y = 6.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 9,\\y = 3.\end{cases}$
　　所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 9,\\y = 3.\end{cases}$
(2)设2x+3y=m,2x−3y=n,则原方程组可变形为$\begin{cases}\frac{m}{4}+\frac{n}{3}=7,\\\frac{m}{3}+\frac{n}{2}=8.\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 60,\\n = - 24.\end{cases}$
　　所以$\begin{cases}2x + 3y = 60,\\2x - 3y = - 24.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 9,\\y = 14.\end{cases}$
　　所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 9,\\y = 14.\end{cases}$