《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

例3　★益[方程思想]如图,
直线AB,CD相交于点O,
 OE平分∠BOC,FO⊥CD
于点O.若∠BOD:∠BOE =
1:2,求∠AOF的度数.


思路分析

解:由∠BOD:∠BOE = 1:2,设∠BOD = x°,则∠BOE = (2x)°.
∵OE平分∠BOC,∴∠COE = ∠BOE = (2x)°.
∵∠COE + ∠BOE + ∠BOD = 180°,
∴2x + 2x + x = 180,解得x = 36.
∴∠BOD = 36°,∴∠AOC = ∠BOD = 36°.
∵FO⊥CD,∴∠COF = 90°.
∴∠AOF = ∠COF - ∠AOC = 90° - 36° = 54°.
知识点睛：两条直线相交产生对顶角和邻补角.对顶角相等和邻补角互补是相交线模型中求角度的重要依据，它们常和角平分线、垂线等知识结合考查.

答案：

举一反三训练3 - 1★　[武汉洪山区期中]如图,直线AB,CD 相交于点O,OA平分∠COE,OF⊥CD,垂足为O.若∠BOD = 32°,则∠EOF的度数为(　　　)
A.26°
B.28°
　　　　　　　　　　　　　　　
C.32°
D.58°

答案： 3−1 A　[解析]
∵∠BOD = 32°，
∴∠AOC = ∠BOD = 32°。
∵OA平分∠COE，
∴∠COE = 2∠AOC = 64°。
∵OF⊥CD，
∴∠COF = 90°，
∴∠EOF = ∠COF - ∠COE = 26°。故选A。

3 - 2☆　[禹州期中]如图,直线AB与CD相交于点O,OF⊥CD,垂足为O,OE平分∠BOD.
若∠BOC比∠DOE大78°,求∠AOD和∠EOF的度数.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 3−2 解：
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE = ∠DOE。
设∠BOE = ∠DOE = x°。
∵∠BOC比∠DOE大78°，
∴∠BOC = (x + 78)°。
∵∠BOC + ∠BOE + ∠DOE = 180°，
∴x + 78 + x + x = 180，解得x = 34。
∴∠BOE = ∠DOE = 34°，∠BOC = 34° + 78° = 112°。
∴∠AOD = ∠BOC = 112°。
∵OF⊥CD，
∴∠COF = 90°。
∴∠BOF = ∠BOC - ∠COF = 112° - 90° = 22°，
∴∠EOF = ∠BOF + ∠BOE = 22° + 34° = 56°。

例4★　　如图,下列条件:①∠1 = ∠B;②∠2 = ∠5;③∠3 = ∠4;④∠BCD + ∠D =
180°;⑤∠B + ∠BCD = 180°.其中能够判定
AB//CD的有__________.(填序号)
　　　　　
解析:①∵∠1 = ∠B，∴AB//CD(同位角相等,两直线平行)
②∵∠2 = ∠5，∴AB//CD(内错角相等,两直线平行)
③∵∠3 = ∠4，∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)
④∵∠BCD + ∠D = 180°，∴AD//BC(同旁内角互补，两直线平行)
⑤∵∠B + ∠BCD = 180°，∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)
答案:①②⑤
知识点睛：平行线的判定方法除了利用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补这三种，还可以利用平行线的定义、平行线的基本事实的推论等.

答案： ①②⑤

举一反三训练4 - 1★　[鹰潭余江区期末]如图,A,E,B三点在同一直线上,A,C,F三点在同一直线上,请你添加一个条件,使AB//DC,你添加的条件是______________.(不允许添加任何辅助线)
　　　　　　　　　　

答案： 4−1 ∠A = ∠DCF(答案不唯一)