《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

4-1*豆[咸宁崇阳县期末]某物流公司现有114t货物，计划租用A，B两种车，经理发现运货货单上的一个信息是：

根据以上信息，解答下列问题：

（1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物

一次可分别运货多少吨?

（2)若物流公司打算一次运完，且恰好每

辆车都装满货物.

①请你帮该物流公司设计租车方案；

②若A型车每辆需租金800元/次，B型车

每辆需租金1000元/次.公司预算支出

12000元经理让会计小李和小王核算一

下具体运费，请你帮他们算算，最少租车费

是多少元？此时租车方案是什么？

答案： 4-1 解：
(1)设1辆A型车装满货物一次可运货$x$t，1辆B型车装满货物一次可运货$y$t. 根据题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 38,\\x + 3y = 36.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 6,\\y = 10.\end{cases}$ 答：1辆A型车装满货物一次可运货6t，1辆B型车装满货物一次可运货10t.
(2)①设租用A型车$a$辆，B型车$b$辆. 由题意，得$6a + 10b = 114$.整理，得$a = 19 - \frac{5}{3}b$. 因为$a$，$b$均为正整数，所以$\begin{cases}a = 14,\\b = 3\end{cases}$或$\begin{cases}a = 9,\\b = 6\end{cases}$或$\begin{cases}a = 4,\\b = 9,\end{cases}$ 所以该物流公司有3种租车方案： 方案1：租用A型车14辆，B型车3辆； 方案2：租用A型车9辆，B型车6辆； 方案3：租用A型车4辆，B型车9辆. ②因为A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次， 所以方案1租车费用为$14×800 + 3×1000 = 14200$(元)， 方案2租车费用为$9×800 + 6×1000 = 13200$(元)， 方案3租车费用为$4×800 + 9×1000 = 12200$(元). 因为$14200>13200>12200$， 所以最少租车费为12200元，此时租车方案是租用A型车4辆，B型车9辆. 

例5 定义:把$ax + y = b$（$a$,$b$是常数，$x$,$y$是未知数）这样的方程称为“优美二元一次方程”。当$y = 2x$时，“优美二元一次方程”$ax + y = b$中$x$的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”。例如:当$y = 2x$时，“优美二元一次方程”$3x - y = 4$化为$3x - 2x = 4$，解得$x = 4$。故其“优美值”为4。
（1）“优美二元一次方程”$5x - y = 1$的“优美值”为______；
（2）若“优美二元一次方程”$\frac{1}{3}x + y = m$的“优美值”是 - 3，求$m$的值；
（3）是否存在$n$，使得“优美二元一次方程”$\frac{5}{2}x + y = n$与“优美二元一次方程”$4x - y = n - 2$的“优美值”相同？ 若存在，请求出$n$的值及“优美值”；若不存在，请说明理由。

答案：

举一反三训练
5 - 1 我们规定:关于$x$,$y$的二元一次方程$ax + by = c$，若满足$a + b = c$，则称这个方程为“友好方程”。例如:方程$2x + 3y = 5$，其中$a = 2$，$b = 3$，$c = 5$，满足$a + b = c$，则方程$2x + 3y = 5$是“友好方程”。把两个“友好方程”合在一起叫作“友好方程组”。根据上述规定，回答下列问题：
（1）方程$5x + 4y = 9$______（填“是”或“不是”）“友好方程”；
（2）若关于$x$,$y$的二元一次方程$kx+(2k - 1)y = 8$是“友好方程”，求$k$的值；
（3）若$\begin{cases}x = p,\\y = q\end{cases}$是关于$x$,$y$的“友好方程组”$\begin{cases}mx+(m - 3)y = - 1,\\nx+(n + 1)y = m + 6\end{cases}$的解，求$2p + q$的值。

答案： 5 - 1 解：
(1)是
(2)因为关于$x$，$y$的二元一次方程$kx + (2k - 1)y = 8$是“友好方程”，所以$k + 2k - 1 = 8$，解得$k = 3$。
所以$k$的值是3。
(3)因为方程组$\begin{cases}mx + (m - 3)y = -1,\\nx + (n + 1)y = m + 6\end{cases}$是“友好方程组”，
所以$\begin{cases}m + (m - 3) = -1,\\n + (n + 1) = m + 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 1,\\n = 3\end{cases}$。
所以原方程组为$\begin{cases}x - 2y = -1,\\3x + 4y = 7\end{cases}$。
因为$\begin{cases}x = p,\\y = q\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x - 2y = -1,\\3x + 4y = 7\end{cases}$的解，
所以$\begin{cases}p - 2q = -1, &①\\3p + 4q = 7. &②\end{cases}$
①+②，得$4p + 2q = 6$。所以$2p + q = 3$。