《2025年黄冈状元成才路状元大课堂七年级数学下册人教版》

例7 [阅读理解]阅读下面的文字，解答问题：√10 -1是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√10 -1的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来.因为√9＜√10＜√16，即3＜√10＜4，所以2＜√10 -1＜3，所以√10 -1的整数部分为2，小数部分为√10 -3.
（1）√6的小数部分为_______；
（2）求出1+√3的整数部分和小数部分；
（3）如果2+√5的整数部分是a，小数部分是b，求出a-b的值.

答案：

举一反三训练
7-1 阅读材料，完成下列任务.
材料一
我们可以用以下方法表示无理数√7的小数部分
因为4＜7＜9，
所以√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3.
所以√7的整数部分为2.
所以√7的小数部分为√7 -2
材料二
我们可以用以下方法求无理数√107的近似值（结果保留小数点后两位）
因为面积为107的正方形的边长是√107，且10＜√107＜11，
所以设√107 =10+x，其中0＜x＜1.画出边长为10+x的正方形，如图.根据图中面积，得10²+2×10x+x²=107，当x²较小时，忽略x²，得10²+2×10x≈107，解得x≈0.35.所以√107 =10+x≈10.35
任务：
（1）利用材料一中的方法，直接写出√29的小数部分是_______.
（2）x是√15 -2的小数部分，y是5+√15的小数部分，则x-y的值是多少？
（3）利用材料二中的方法，探究√123的近似值.（结果保留小数点后两位，并写出求解过程）

答案： 7-1 解：
(1)$\sqrt{29}-5$ 【解析】因为$25＜29＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{29}＜6$，所以$\sqrt{29}$的整数部分是5，所以$\sqrt{29}$的小数部分是$\sqrt{29}-5$。
(2)因为$9＜15＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$，所以$\sqrt{15}$的整数部分是3，所以$\sqrt{15}-2$的整数部分是1，$5+\sqrt{15}$的整数部分是8。所以$\sqrt{15}-2$的小数部分是$\sqrt{15}-2 - 1=\sqrt{15}-3$，即$x=\sqrt{15}-3$；$5+\sqrt{15}$的小数部分是$5+\sqrt{15}-8=\sqrt{15}-3$，即$y=\sqrt{15}-3$。所以$x - y=\sqrt{15}-3-(\sqrt{15}-3)=0$。
(3)因为面积为123的正方形的边长是$\sqrt{123}$，且$11＜\sqrt{123}＜12$，所以设$\sqrt{123}=11 + x$，其中$0＜x＜1$。画出边长为$11 + x$的正方形，如图。根据图中面积，得$11^{2}+2\times11x+x^{2}=123$，当$x^{2}$较小时，忽略$x^{2}$，得$11^{2}+2\times11x\approx123$，解得$x\approx0.09$。所以$\sqrt{123}\approx11.09$。