《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

1.(2024广州,10,3分)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形,若扇形的半径l 是5,则该圆锥的体积是　　　　　　(　　　)

A.$\frac{3\sqrt{11}}{8}\pi$　　
　B.$\frac{\sqrt{11}}{8}\pi$
C.$2\sqrt{6}\pi$　　　
　D.$\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi$

答案： D 设圆锥的底面圆的半径为r，则圆锥的底面周长为2πr，
∵圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，且扇形的半径l是5，
∴扇形的弧长为$\frac{72π×5}{180}$ = 2π.
∵圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长相等，
∴2πr = 2π，
∴r = 1，
∴圆锥的高为$\sqrt{5^{2}-1^{2}}$ = 2$\sqrt{6}$.
∴圆锥的体积为$\frac{1}{3}$π×1²×2$\sqrt{6}$ = $\frac{2\sqrt{6}}{3}$π.

2.(2022广东,15,3分)扇形的半径为2,圆心角为90°,则该扇形的面积为________.(结果保留π)

答案： 答案 π
解析 S_{扇形} = $\frac{90π×2^{2}}{360}$ = π.

3.(2022广州,15,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,点O在边AC上,以O为圆心,4为半径的圆恰好过点C,且与边AB相切于点D,交BC于点E,则劣弧$\overset{\frown }{DE}$的长是________.(结果保留π)

答案：
答案 2π
解析 连接OE，OD.

∵AB = AC，OE = OC，
∴∠B = ∠OEC = ∠C，
∴OE//AB.
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO = 90°，
∴∠DOE = ∠ADO = 90°.
∵OE = 4，
∴$l_{\overset{\frown}{DE}}$ = $\frac{90π×4}{180}$ = 2π.

4.(2021广东,13,4分)如图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=4.分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧,交AB、BC、AC于点D、E、F,则图中阴影部分的面积为________.

答案： 答案 4 - π
解析
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B = 45°，sin B = $\frac{AC}{BC}$，又BC = 4，
∴sin 45° = $\frac{AC}{4}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC = 2$\sqrt{2}$，
∴AB = AC = 2$\sqrt{2}$，
∴S_{△ABC} = $\frac{1}{2}$·AB·AC = $\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$ = 4，
∴S_{阴影部分} = S_{△ABC} - 2×$\frac{45π×2^{2}}{360}$ = 4 - π.

5.(2020广东,16,4分)如图,从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为________m.

答案： 答案 $\frac{1}{3}$
解析 连接OA，OB，根据已知得∠BAO = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×120° = 60°.
又
∵OA = OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB = OA = 1 m.
∵∠BAC = 120°，
∴$\overset{\frown}{BOC}$的长为$\frac{120π·AB}{180}$ = $\frac{2π}{3}$(m).
设圆锥的底面圆的半径为r m，根据扇形围成的圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可得2πr = $\frac{2π}{3}$，
∴r = $\frac{1}{3}$ m.

6.(2024广东,21,9分)综合与实践
[主题]滤纸与漏斗
[素材]如图1所示:
①一张直径为10cm的圆形滤纸;
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.
[实践操作]
步骤1:取一张滤纸;
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸;
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形;
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
[实践探索]
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)

答案：
解析
(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁.
方法一：作出示意图如下，由题意知AB = AC = BC = 7 cm，
CD = CE = $\frac{1}{2}$×10 = 5(cm)，
∵圆锥形的滤纸的底面周长 = $\frac{1}{2}$×10π = 5π(cm)，
∴DE = 5 cm，
∴$\frac{DE}{AB}$ = $\frac{CD}{CA}$ = $\frac{CE}{CB}$，
∴△CDE∽△CAB，
∴∠DCE = ∠ACB，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.

方法二：由2πr = $\frac{nπl}{180}$得$\frac{n}{360}$ = $\frac{r}{l}$，其中r为圆锥底面半径，l为圆锥的母线长，n为圆锥侧面展开图的圆心角的度数.
对于圆锥形滤纸，n = 90×2 = 180；
对于漏斗，$\frac{r}{l}$ = $\frac{3.5}{7}$ = $\frac{1}{2}$，
∴n = 180.
∵180 = 180，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)由
(1)知CD = DE = CE = 5 cm，
∴∠CDE = 60°，
过C作CF⊥DE于点F，则DF = $\frac{1}{2}$DE = $\frac{5}{2}$ cm，
在Rt△CDF中，CF = $\sqrt{CD^{2}-DF^{2}}$ = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ cm，
∴π×($\frac{5}{2}$)²×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{3}$ = $\frac{125\sqrt{3}}{24}$π cm³，
即滤纸围成圆锥形的体积是$\frac{125\sqrt{3}}{24}$π cm³.