《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例1　石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表。图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为$\overset{\frown}{AB}$。桥的跨度（弧所对的弦长）$AB = 26$m，设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O，半径$OC\perp AB$，垂足为D。拱高（弧的中点到弦的距离）$CD = 5$m。连接OB。
(1)直接判断AD与BD的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）。
　　
解题思路　(1)根据垂径定理即可得出结论；
(2)设主桥拱半径为R，在Rt$\triangle OBD$中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案。

答案： 解析　
(1)$AD = BD$.
(2)设主桥拱半径为$R\ m$，
由题意可知$AB = 26\ m$，$CD = 5\ m$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}AB = 13\ m$，$OD=(R - 5)\ m$.
$\because\angle ODB = 90^{\circ}$，$\therefore OD^{2}+BD^{2}=OB^{2}$，
$\therefore (R - 5)^{2}+13^{2}=R^{2}$，
解得$R = 19.4\approx19$.
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19 m.

变式1　已知$\odot O$的半径为7，AB是$\odot O$的弦，点P在弦AB上。若$PA = 4$，$PB = 6$，则OP的长度为（ ）
A.$\sqrt{14}$　　
　B.4　　
　C.$\sqrt{23}$　
　D.5

答案：
D　如图，连接$OB$，过点$O$作$OM\perp AB$于$M$，

由垂径定理可得$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AP + BP)=5$，$\therefore MP = BP - MB = 6 - 5 = 1$.
在$Rt\triangle OMB$中，$OM^{2}=OB^{2}-MB^{2}=7^{2}-5^{2}=24$. 在$Rt\triangle OPM$中，$OP=\sqrt{OM^{2}+PM^{2}}=\sqrt{24 + 1}=5$.

变式2　筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1。筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2。已知圆心O在水面上方，且$\odot O$被水面截得的弦AB长为6米，$\odot O$半径长为4米。若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A.1米　B.$(4 - \sqrt{7})$米　C.2米　D.$(4 + \sqrt{7})$米
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
B　连接$OC$交$AB$于$D$，连接$OA$，$\because$点$C$为运行轨道的最低点，
$\therefore OC\perp AB$，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB = 3$米，
在$Rt\triangle OAD$中，$OD=\sqrt{OA^{2}-AD^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$(米)，
$\therefore$点$C$到弦$AB$所在直线的距离$CD = OC - OD=(4-\sqrt{7})$米.

例2　如图，AB是$\odot O$的直径，点C是$\odot O$上异于A、B的点，连接AC，BC，点D在BA的延长线上，且$\angle DCA = \angle ABC$，求证：DC是$\odot O$的切线。
　　
　　　
解题思路　连接OC，根据圆周角定理得到$\angle ACB = 90^{\circ}$，根据等量代换得到$\angle DCO = 90^{\circ}$，即可证明DC是$\odot O$的切线。

答案：
证明　连接$OC$，由题意知$\angle ACB$是直径$AB$所对的圆周角，
$\therefore\angle ACB = 90^{\circ}$.

$\because OC$、$OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore OC = OB$，$\therefore\angle OCB=\angle ABC$.
又$\because\angle DCA=\angle ABC$，$\therefore\angle DCA=\angle OCB$，
$\therefore\angle DCO=\angle DCA+\angle ACO=\angle OCB+\angle ACO=\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore OC\perp DC$. 又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore DC$是$\odot O$的切线.