《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

8. (2024 广州,22,10 分)2024 年 6 月 2 日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从 A 点垂直下降到 B 点,再垂直下降到着陆点 C,从 B 点测得地面 D 点的俯角为 36.87°,AD = 17 米,BD = 10 米.
(1)求 CD 的长;
(2)若模拟装置从 A 点以每秒 2 米的速度匀速下降到 B 点,求模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间.
参考数据:sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75.

答案： 解析　
(1)由题意知,∠BCD=90°,∠BDC=36.87°,
在Rt△BCD中,BD=10米,∠BDC =36.87°,
∴CD=BD·cos36.87°≈10×0.80 =8(米),
∴CD的长约为8米.
(2)
∵AD=17米,CD=8米,
∴AC=$\sqrt{AD^{2}-CD^{2}}$=15米.
在Rt△BCD中,BD=10米，
∴BC=BD·sin36.87°≈10×0.60 =6(米),
∴AB=AC - BC =15 - 6 =9(米).
∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，
∴9÷2 =4.5(秒),
即模拟装置从A点下降到B点的时间约为4.5秒

9. (2024 广东,18,7 分)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区增设了充电站,下图是矩形充电站 PQMN 的平面示意图,矩形 ABCD 是其中一个停车位.经测量,∠ABQ = 60°,AB = 5.4 m,CE = 1.6 m,GH⊥CD,GH 是另一个车位的宽,所有车位的长、宽分别相同,按图示并列划定.
(1)求 PQ 的长;
(2)该充电站有 20 个停车位,求 PN 的长.
(结果精确到 0.1 m,参考数据:$\sqrt{3}$≈1.73)

答案： 解析　
(1)
∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q=∠P=90°,
在Rt△ABQ中,∠ABQ=60°,AB=5.4m,
∴AQ=AB·sin60° =5.4×$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{10}$(m),∠QAB=30°,
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°,
∴∠CBE=30°,
∴BC=$\frac{CE}{tan30°}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$m,
∴AD=BC=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$m,
∵∠PAD=180° - 30° - 90° =60°,
∴AP=$\frac{1}{2}AD=\frac{4\sqrt{3}}{5}$m,
∴PQ=AQ+AP=$\frac{27\sqrt{3}}{10}+\frac{4\sqrt{3}}{5}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$≈3.5×1.73 =6.055≈6.1(m).
(2)在Rt△BCE中,BE=2CE=2×1.6 =3.2(m),
在Rt△ABQ中,
BQ=AB·cos∠ABQ =2.7m,
∵该充电站有20个停车位,
∴QM=QB+20BE =66.7m,
∵四边形PQMN是矩形,
∴PN=QM=66.7m.