《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例2　如图,一次函数$y_1 = x + b$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象交于$A(-2,1)$，B两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)若点B关于x轴的对称点在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上,求m的值;
(3)连接OA,OB,求$\triangle AOB$的面积;
(4)若点P是x轴上一点,且$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle POA}$,求点P的坐标.
　　　　　
解题思路　(1)将点A的坐标代入两个函数的解析式求k,b的值,求出解析式;
(2)联立一次函数和反比例函数的解析式求解，得点B的坐标,代入$y=\frac{m}{x}$中求m的值;
(3)设直线AB交y轴于点M,将$\triangle AOB$的面积转化为$\triangle AOM$和$\triangle BOM$的面积之差求解;
(4)设点P坐标为$(t,0)$，由(3)中$S_{\triangle AOB}$的值列方程求t即可.

答案：
解析
(1) 把 $A(-2, 1)$ 代入 $y_1 = x + b$，得 $1 = -2 + b$，解得 $b = 3$，$\therefore y_1 = x + 3$.
把 $A(-2, 1)$ 代入 $y_2 = \frac{k}{x}$ 得 $1 = \frac{k}{-2}$，解得 $k = -2$，$\therefore y_2 = -\frac{2}{x}$.
(2) 由 $\begin{cases}y = x + 3\\y = -\frac{2}{x}\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x = -2\\y = 1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}$，$\therefore B(-1, 2)$，$\therefore B(-1, 2)$ 关于 $x$ 轴对称点的坐标为 $(-1, -2)$，$\therefore -2 = \frac{m}{-1}$，解得 $m = 2$.
(3) 设直线 $AB$ 交 $y$ 轴于 $M$，过 $A$ 作 $AK \perp y$ 轴于 $K$，过 $B$ 作 $BT \perp y$ 轴于 $T$，如图.
　　　
由 $y_1 = x + 3$ 可得 $M(0, 3)$，$\therefore OM = 3$，$\because A(-2, 1)$，$B(-1, 2)$，$\therefore AK = 2$，$BT = 1$，$\therefore S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOM} - S_{\triangle BOM} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 - \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = \frac{3}{2}$.$\therefore \triangle AOB$ 的面积为 $\frac{3}{2}$.
(4) 设 $P(t, 0)$，$\because S_{\triangle AOB} = S_{\triangle POA}$，$\therefore \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \times |t| \times 1$，解得 $t = 3$ 或 $t = -3$，$\therefore P$ 点坐标为 $(3, 0)$ 或 $(-3, 0)$.

变式3　如图,在平面直角坐标系中,直线l与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(a,4 - a)$和点$B(b,4 - b)$，其中$a ＜ b$，直线l与坐标轴的交点分别是C、D.
(1)求$a + b$的值;
(2)求直线l的函数表达式;
(3)若M为直线AB上的动点,求线段OM长度的最小值;
(4)求证：$OA = OB$;
(5)若$\triangle OAB$是等边三角形,求a的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解析
(1) $\because$ 直线 $l$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$ 的图象交于点 $A(a, 4 - a)$，点 $B(b, 4 - b)$，$\therefore k = a(4 - a) = b(4 - b)$，$\therefore a(4 - a) - b(4 - b) = 0$，整理得 $(a - b)(a + b - 4) = 0$，$\because a ＜ b$，$\therefore a - b ＜ 0$，$\therefore a + b - 4 = 0$，$\therefore a + b = 4$.
(2) 设直线 $l$ 的解析式为 $y = mx + n(m \neq 0)$，分别把 $A(a, 4 - a)$，$B(b, 4 - b)$ 代入得 $\begin{cases}am + n = 4 - a\\bm + n = 4 - b\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = -1\\n = 4\end{cases}$. $\therefore$ 直线 $l$ 的解析式为 $y = -x + 4$.
(3) 当 $OM \perp AB$ 时，$OM$ 的值最小，$\because$ 直线 $l$ 的函数解析式为 $y = -x + 4$，$\therefore C(0, 4)$，$D(4, 0)$，$\therefore OC = OD = 4$，$\therefore CD = \sqrt{OC^2 + OD^2} = 4\sqrt{2}$，$\because S_{\triangle OCD} = \frac{1}{2}OC \times OD = \frac{1}{2}CD \times OM$，$\therefore 4 \times 4 = 4\sqrt{2} \times OM$，$\therefore OM = 2\sqrt{2}$，$\therefore$ 线段 $OM$ 长度的最小值为 $2\sqrt{2}$.
(4) 证明：$\because a + b = 4$，$\therefore b = 4 - a$，$a = 4 - b$，$\because A(a, 4 - a)$，$B(b, 4 - b)$，$\therefore A(a, b)$，$B(b, a)$，$\therefore OA^2 = a^2 + b^2$，$OB^2 = b^2 + a^2$，$\therefore OA = OB$.
(5) 由
(4) 可知，$OA = OB$，若 $\triangle OAB$ 是等边三角形，则 $AO = AB$，故 $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + (b - a)^2$，即 $a^2 + b^2 = 4ab$，$\therefore (a + b)^2 = 6ab$，$\because a + b = 4$，$\therefore b = 4 - a$，$\therefore 16 = 6a(4 - a)$，即 $3a^2 - 12a + 8 = 0$，解得 $a = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{3}$，又 $a ＜ b$，$\therefore a = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}$.