《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例　如图，已知在正方形ABCD中，M是边BC上一点，连接AM，请用无刻度的直尺和圆规作图：
(1)在图1中的AM上作一点P，使得△DPA ∽△ABM；
(2)在图2中作一个⊙O，使得⊙O与AM、AD、CD三边都相切。
(以上作图不写作法，保留作图痕迹)
　　
解题思路　(1)由于△ABM是直角三角形，而△DPA中直角顶点只可能是点P，故作DP⊥AM于点P，点P即为所求；(2)作圆应确定圆心与半径，由题可知圆心到AM、AD、CD三边的距离均相等，其本质为作角平分线，故作∠DAM的平分线交BD于点O，作OT⊥CD于点T，以O为圆心，OT为半径作⊙O即可。

答案：
方法技巧
例 解析
(1)如图,点P即为所求.

(2)如图，⊙O即为所求.

变式　如图，在菱形ABCD中，∠B = 60°，AB = 8，AC为对角线，P是边BC的延长线上一点，连接AP。
(1)在线段AP上求作点M，使得∠AMC = 120°(要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的作图条件下，当AP = 18时，求线段AM的长度。
　　　　　　　　　　　　　

答案：
变式 解析
(1)如图,点M即为所求.

(2)过点A作AH⊥BC于点H，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC，
∵ ∠B = 60°，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC = 8，
∵ AH⊥BC，
∴ BH = CH = 4，AH = 4$\sqrt{3}$，
∴ PH = $\sqrt{AP^{2}-AH^{2}}$ = $\sqrt{18^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}$ = 2$\sqrt{69}$，
∴ PC = PH - CH = 2$\sqrt{69}$ - 4，
PB = PH + BH = 2$\sqrt{69}$ + 4.
∵ ∠AMC = 120°，
∴ ∠CMP = 60°.
∵ ∠CPM = ∠APB，∠CMP = ∠B，
∴ △PMC∽△PBA，
∴ PM : PB = PC : PA，
∴ PM·PA = PC·PB，
∴ (18 - AM)×18 = (2$\sqrt{69}$ - 4)×(2$\sqrt{69}$ + 4)，
∴ AM = $\frac{32}{9}$.