《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

1.如图,正方形ABCD中,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE翻折,点B落在点F处,延长EF交CD于点P,若AB = 6,则DP的长为______.

答案：
答案　2
解析　如图所示，连接$AP$，$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB = BC = CD = AD = 6$，$\angle B=\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，由折叠的性质可知$AF = AB$，$\angle AFE=\angle B = 90^{\circ}$，$FE = BE$，$\therefore AF = AD$，$\angle AFP=\angle D = 90^{\circ}$，又$\because AP = AP$，$\therefore Rt\triangle ADP\cong Rt\triangle AFP(HL)$，$\therefore DP = FP$，$\because E$是$BC$的中点，$\therefore EF = BE = CE=\frac{1}{2}BC = 3$，设$DP = FP = x$，则$EP = x + 3$，$CP = 6 - x$，在$Rt\triangle PCE$中，由勾股定理得，$PE^{2}=CP^{2}+CE^{2}$，$\therefore (x + 3)^{2}=(6 - x)^{2}+3^{2}$，解得$x = 2$，$\therefore DP = 2$。

2.如图,在矩形ABCD中,AB = 10,AD = 12,点N是AB边的中点,点M是BC边上的一动点,连接MN,将△BMN沿MN折叠,若点B的对应点为B',连接B'C,当△B'MC为直角三角形时,BM的长为______.

答案：
答案　$\frac{10}{3}$或5
解析　分三种情况讨论。
①当$\angle B'CM = 90^{\circ}$时，易知点$B$的对应点$B'$不能落在$CD$所在直线上，$\therefore \angle B'CM\lt90^{\circ}$，不存在此类情况；
②当$\angle CMB' = 90^{\circ}$时，如图，

由折叠性质可得，$\angle BMN=\angle B'MN=\frac{1}{2}\angle BMB' = 45^{\circ}$，$\therefore BM = BN=\frac{1}{2}AB = 5$；
③当$\angle CB'M = 90^{\circ}$时，如图，

$\because \angle NB'M=\angle CB'M = 90^{\circ}$，$\therefore B'$、$N$、$C$三点共线，由勾股定理可得，$NC=\sqrt{NB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13$，设$BM = B'M = x$，则$CM = 12 - x$，$\therefore \frac{1}{2}\times(12 - x)\times5=\frac{1}{2}\times13x$，解得$x=\frac{10}{3}$。综上，$BM$的长为$\frac{10}{3}$或5。