《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例1　如图,在△ABC与△A'B'C'中,点D、D'分别在边BC、B'C'上,且△ACD∽△A'C'D',若________,则△ABD∽△A'B'D',请从①$\frac{BD}{CD}=\frac{B'D'}{C'D'}$;②$\frac{AB}{CD}=\frac{A'B'}{C'D'}$;③∠BAD = ∠B'A'D'这三个选项中选择一个作为条件(写序号),并加以证明.
　　　　
解题关键点　把握已知的相似三角形所提供的与要证的相似三角形相关的条件(等角或边的比例关系).

答案： 解析　若选①$\frac{BD}{CD}=\frac{B'D'}{C'D'}$，
证明：$\because \triangle ACD\sim\triangle A'C'D'$，
$\therefore \angle ADC=\angle A'D'C'$，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{CD}{C'D'}$，
$\therefore \angle ADB=\angle A'D'B'$，
$\because \frac{BD}{CD}=\frac{B'D'}{C'D'}$，$\therefore \frac{BD}{B'D'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{AD}{A'D'}$，
$\therefore \triangle ABD\sim\triangle A'B'D'$.
选择②$\frac{AB}{CD}=\frac{A'B'}{C'D'}$，不能证明$\triangle ABD\sim\triangle A'B'D'$.
若选③$\angle BAD=\angle B'A'D'$，
证明：$\because \triangle ACD\sim\triangle A'C'D'$，
$\therefore \angle ADC=\angle A'D'C'$，
$\therefore \angle ADB=\angle A'D'B'$，
又$\because \angle BAD=\angle B'A'D'$，
$\therefore \triangle ABD\sim\triangle A'B'D'$.

变式1　如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC 上的点,且DE//BC,BE、CD相交于点O,若$S_{\triangle DOE}:S_{\triangle DOB}=1:3$,则$\frac{DE}{BC}=$__________,当$S_{\triangle ADE} =2$时,四边形DBCE的面积是________.
　　　　　　　

答案： 答案　$\frac{1}{3}$；16
解析　$\because S_{\triangle DOE}:S_{\triangle DOB}=1:3$，
$\therefore \frac{OE}{OB}=1:3$，$\because DE// BC$，
$\therefore \triangle ODE\sim\triangle OCB$，$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}$.
$\because DE// BC$，$\therefore \triangle ADE\sim\triangle ABC$，
$\therefore \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
$\because S_{\triangle ADE}=2$，$\therefore S_{\triangle ABC}=18$，
$\therefore$四边形$DBCE$的面积为$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADE}=18 - 2=16$.

例2　如图,锐角三角形ABC内接于⊙O,∠BAC 的平分线AG交⊙O于点G,交BC边于点F,连接BG.
　　　　　　
(1)求证:△ABG∽△AFC;
(2)已知AB = a,AC = AF = b,求线段FG的长(用含a,b的代数式表示);
(3)已知点E在线段AF上(不与点A,点F重合),点D在线段AE上(不与点A,点E重合)，∠ABD = ∠CBE,求证:$BG^{2}=GE\cdot GD$.
解题思路　(1)根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G,知∠BAG = ∠FAC,由圆周角定理的推论知∠G = ∠C,即可证△ABG∽△AFC;
(2)由(1)知$\frac{AB}{AF}=\frac{AG}{AC}$,由AC = AF得AG = AB,即可计算FG的长度;
(3)先证△DGB∽△BGE,得出线段比例关系,即可证得$BG^{2}=GE\cdot GD$.

答案： 解析　
(1)证明：$\because AG$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAG=\angle FAC$.
$\because \angle G=\angle C$，$\therefore \triangle ABG\sim\triangle AFC$.
(2)由
(1)知$\frac{AB}{AF}=\frac{AG}{AC}$.$\because AC = AF = b$，
$\therefore AG = AB = a$，
$\therefore FG = AG - AF = a - b$.
(3)证明：$\because \angle CAG=\angle CBG$，$\angle BAG=\angle CAG$，$\therefore \angle BAG=\angle CBG$.
$\because \angle ABD=\angle CBE$，$\therefore \angle BDG=\angle BAG+\angle ABD=\angle CBG+\angle CBE=\angle EBG$.
又$\because \angle DGB=\angle BGE$，
$\therefore \triangle DGB\sim\triangle BGE$，
$\therefore \frac{GD}{BG}=\frac{BG}{GE}$，
$\therefore BG^2=GE\cdot GD$.