《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

7.(2020深圳,2,3分)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　　　　　　　(　　　)
　

答案： B

8.(2019广州,14,3分)一副三角板如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°),使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直,则α　的度数为__________.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
答案 15°或60°
解析 ①当DE⊥BC时，如图，设DE与AC交于点F，

∵∠AFE=∠CFD=90°-∠C=90°-30°=60°，
∴∠FAE=180°-∠AFE-∠E=180°-60°-45°=75°，
∴∠DAC=∠DAE-∠FAE=90°-75°=15°，
∴α=15°.
②当AD⊥BC时，如图，设DE与AC交于点F，

∵∠C=30°，AD⊥BC，
∴∠DAC=90°-∠C=60°，
∴α=60°.
综上所述，α的度数为15°或60°.

9.(2022广州,16,3分)如图,在矩形ABCD中,BC = 2AB,点P为边AD上的一个动点,线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP',连接PP',CP'.
　当点P'落在边BC上时,∠PP'C的度数为__________;
　当线段CP'的长度最小时,∠PP'C的度数为__________.
　　　　　　　　　　　

答案：
答案 120°；75°
解析 当点P'落在边BC上时，B，P'，C三点共线，
∵BP=BP'，∠PBP'=60°，
∴△BPP'为等边三角形，
∴∠BP'P=60°，
∴∠PP'C=120°.
将线段AD绕点B顺时针旋转60°得到线段A'D'，易知线段A'D'为点P'的运动轨迹，设A'D'与BC交于点E.连接A'B，易知∠A'EB=60°.

当CP'⊥A'D'时，CP'取最小值.
易证△ABP≌△A'BP'，
∴∠A=∠A'=90°，
∴A'B//CP'，
∴∠P'CE=∠A'BE=30°.
设AB=A'B=a，则BC=2a，$A'E=\frac{\sqrt{3}}{3}a，$$BE=\frac{2\sqrt{3}}{3}a，$
∴$CE=2a-\frac{2\sqrt{3}}{3}a，$
∴$EP'=a-\frac{\sqrt{3}}{3}a.$
∴A'P'=A'E+EP'=a，
∴A'B=A'P'，
∴∠A'P'B=45°，又
∵△BPP'为等边三角形，
∴∠A'P'P=15°，
∴∠PP'C=90°-15°=75°.

10.(2020深圳,22,9分)背景:一次小组合作探究课上,小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点E、A、D在同一条直线上),发现BE = DG且BE⊥DG.
　　　　　　　
　小组讨论后,提出了下列三个问题,请你帮助解答.
　(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图1),还能得到BE = DG吗？若能,请给出证明,若不能,请说明理由.
　(2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG 和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图2),试问当∠EAG与∠BAD 的大小满足怎样的关系时,背景中的结论BE = DG仍成立？请说明理由.
　(3)把背景中的正方形分别改成矩形AEFG 和矩形ABCD,且$\frac{AE}{AG}=\frac{AB}{AD}=\frac{2}{3}$,AE = 4,AB = 8,将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3),连接DE,BG.小组发现:在旋转过程中,DE²+BG²的值是定值,请求出这个定值.
　

答案：
解析
(1)能.
证明如下：
∵四边形AEFG为正方形，
∴AE=AG，∠EAG=90°.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠EAB=∠GAD.
∴△AEB≌△AGD(SAS)，
∴BE=DG.
(2)当∠EAG=∠BAD时，BE=DG.
理由如下：
∵∠EAG=∠BAD，
∴∠EAB=∠GAD.
∵四边形AEFG和四边形ABCD均为菱形，
∴AE=AG，AB=AD.
∴△AEB≌△AGD(SAS)，
∴BE=DG.
(3)过E作EM⊥DA的延长线于点M，过G作GN⊥AB于点N.
∵$\frac{AE}{AG}=\frac{AB}{AD}=\frac{2}{3}，$AE=4，AB=8，
∴AG=6，AD=12.
∵∠EAG=∠MAN=90°，
∴∠MAE=∠NAG.
又
∵∠AME=∠ANG，
∴△AME∽△ANG，
∴$\frac{ME}{NG}=\frac{AM}{AN}=\frac{AE}{AG}=\frac{2}{3}.$设EM=2a，AM=2b，
则GN=3a，AN=3b，$4a^{2}+4b^{2}=16，$
∴BN=8 - 3b，$a^{2}+b^{2}=4，$
∴$ED^{2}=(2a)^{2}+(12 + 2b)^{2}=4a^{2}+144+48b+4b^{2}，$$GB^{2}=(3a)^{2}+(8 - 3b)^{2}=9a^{2}+64-48b+9b^{2}，$
∴$ED^{2}+GB^{2}=13(a^{2}+b^{2})+208=13×4+208=260.$
∴$DE^{2}+BG^{2}$的值为260.