《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例3　如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下结论正确的是__________.
①∠AOB=60°；②AP=BQ；③PQ//AE；④DE=DP；⑤△ACD≌△BCE.
解题思路：通过等边三角形的性质等可证△ACD≌△BCE，进而∠AOB = ∠ACB；通过证明△ACP≌△BCQ，可得AP=BQ；利用全等三角形的性质可得∠BCD=60°，进而证明PQ//AE以及DE≠DP.

答案： 答案　①②③⑤
解析
∵ △ABC 和△CDE 是等边三角形,
∴ AC = BC,CE = CD,∠ACB = ∠DCE = 60°,
∴ ∠ACB+∠BCD = ∠DCE+∠BCD
∴ ∠ACD = ∠BCE,
∴ △ACD≌△BCE(SAS),故⑤正确;
∵ △ACD≌△BCE,
∴ ∠CAD = ∠CBE,
∵ ∠APC = ∠BPO,
∴ ∠AOB = ∠ACB = 60°,故①正确;
∵ ∠ACB = ∠DCE = 60°,
∴ ∠BCD = 180° - ∠ACB - ∠DCE = 60°,
∴ ∠BCD = ∠ACB = 60°,
∴ △ACP≌△BCQ(ASA),
∴ AP = BQ,CP = CQ,故②正确;
∵ CP = CQ,∠BCD = 60°,
∴ △PCQ 是等边三角形,
∴ ∠QPC = 60°,
∴ ∠QPC = ∠ACB = 60°,
∴ PQ//AE,故③正确;
∵ ∠DPC≠∠DCP,
∴ DP≠DC,
∴ DP≠DE,故④不正确.

例4　如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD = 8 cm，BE = 3 cm，则DE = ________cm.
解题关键点：利用直角三角形的两锐角互余及垂直的性质可得∠CAD=∠BCE.

答案： 答案　5
解析
∵ ∠ACB = 90°, BE⊥CE 于点 E,AD⊥CE 于点 D,
∴ ∠ACD + ∠BCE = 90°, ∠ACD + ∠CAD = 90°,
∴ ∠CAD = ∠BCE,
在△CDA 和△BEC 中,
$\begin{cases} \angle CAD = \angle BCE, \\ \angle CDA = \angle BEC, \\ AC = BC, \end{cases}$
∴ △CDA≌△BEC(AAS),
∴ CD = BE,AD = CE,
∵ DE = CE - CD,
∴ DE = AD - BE,
∵ AD = 8 cm,BE = 3 cm,
∴ DE = 5 cm.