《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例1　先化简，再求值：$(\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4x + 4}+\frac{x}{x + 2})\cdot\frac{1}{x - 1}$，其中$x = 3$。
解题思路　先因式分解，再进行分式的运算，最后将$x = 3$代入即可。

答案： 解析 原式 = $\left[\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)^2}+\frac{x}{x + 2}\right]\cdot\frac{1}{x - 1} = \left(\frac{x - 2}{x + 2}+\frac{x}{x + 2}\right)\cdot\frac{1}{x - 1}=\frac{x - 2 + x}{x + 2}\cdot\frac{1}{x - 1}=\frac{2(x - 1)}{x + 2}\cdot\frac{1}{x - 1}=\frac{2}{x + 2}$，
当$x = 3$时，原式 = $\frac{2}{3 + 2}=\frac{2}{5}$。

变式1　已知$2a^{2}-7 = 2a$，则代数式$(a-\frac{2a - 1}{a})\div\frac{a - 1}{a^{2}}$的值为________。

答案： 答案 $\frac{7}{2}$
解析 原式 = $\frac{a^2 - 2a + 1}{a}\cdot\frac{a^2}{a - 1}=\frac{(a - 1)^2}{a}\cdot\frac{a^2}{a - 1}=a(a - 1)$。
由$2a^2 - 7 = 2a$得$2a^2 - 2a = 7$，
$\therefore a^2 - a=\frac{7}{2}$，$\therefore a(a - 1)=\frac{7}{2}$，
即原式 = $\frac{7}{2}$。

变式2　先化简，再求值：$(1+\frac{1}{x - 1})\cdot\frac{x^{2}-1}{x}$，其中$x=\sqrt{3}-1$。

答案： 解析 原式 = $\frac{x - 1 + 1}{x - 1}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}=x + 1$，
当$x = \sqrt{3}-1$时，原式 = $\sqrt{3}$。

变式3　先化简，再求代数式$(\frac{1}{x - 1}-\frac{x - 3}{x^{2}-2x + 1})\div\frac{2}{x - 1}$的值，其中$x = 2\cos45^{\circ}+1$。

答案： 解析 原式 = $\left[\frac{x - 1}{(x - 1)^2}-\frac{x - 3}{(x - 1)^2}\right]\cdot\frac{x - 1}{2}=\frac{(x - 1)-(x - 3)}{(x - 1)^2}\cdot\frac{x - 1}{2}=\frac{2}{(x - 1)^2}\cdot\frac{x - 1}{2}=\frac{1}{x - 1}$。
当$x = 2\cos45^{\circ}+1 = 2\times\frac{\sqrt{2}}{2}+1=\sqrt{2}+1$时，原式 = $\frac{1}{\sqrt{2}+1 - 1}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

例2　计算$\sqrt{14}\times\sqrt{7}-\sqrt{2}$的结果是　　　(　　　)
A.7　　　　B.$6\sqrt{2}$　　　C.$7\sqrt{2}$　　　D.$2\sqrt{7}$
解题思路　先把二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式相减。

答案： B 原式 = $\sqrt{7^2\times2}-\sqrt{2}=7\sqrt{2}-\sqrt{2}=6\sqrt{2}$。

变式4　计算$(\sqrt{27}+\sqrt{18})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=$______。

答案： 答案 3
解析 原式 = $(3\sqrt{3}+3\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 3(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 3\times(3 - 2)=3$。