《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例1 如图，AB//CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF//CD交BD于点F，AB：CD = 2：3，则$\frac{EF}{AB}=$____.
解题思路 由AB//CD易得△ABE∽△DCE，则$\frac{EA}{DE}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{3}$，利用EF//CD推出EF//AB，则△DEF∽△DAB，可求$\frac{EF}{AB}$.

答案： 答案　$\frac{3}{5}$
解析
∵AB//CD,
∴△ABE∽△DCE,
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AB}{CD}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{DE}{DA}$=$\frac{3}{5}$.
∵EF//CD,AB//CD,
∴EF//AB,
∴△DEF∽△DAB,
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DE}{DA}$=$\frac{3}{5}$

例2 如图，点A是双曲线$y = \frac{1}{x}(x ＜ 0)$上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB = 3OA，当点A在双曲线$y = \frac{1}{x}$上运动时，点B在双曲线$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$上移动，则k的值为______.

解题思路 作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，通过构造一线三垂直得△COA∽△DBO，又$(\frac{OA}{OB})^{2}=\frac{S_{\triangle OAC}}{S_{\triangle OBD}}$，$S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}$，$S_{\triangle OBD}=-\frac{k}{2}$，利用OB = 3OA，得出k的值.

答案：
答案　−9
解析　过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D.
∵OB⊥OA,
∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°,
∴∠BOD=∠OAC,
∴△COA∽△DBO,
∵OB = 3OA,
∴$(\frac{OA}{OB})^2=\frac{S_{\triangle OAC}}{S_{\triangle OBD}}=\frac{1}{9}$，又$S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2},S_{\triangle OBD}=\frac{|k|}{2}=-\frac{k}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{k}{2}}=\frac{1}{9}$，即$k = -9$.

例3 如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG//AE，交BF于G.求证：
(1)CG = BH；
(2)$FC^{2}=BF\cdot GF$；
(3)$\frac{FC^{2}}{AB^{2}}=\frac{GF}{GB}$.
解题思路 (1)由题意证∠BAH = ∠CBG，又∠AHB = ∠BGC = 90°，AB = BC，可证△ABH≌△BCG，得出结论.(2)易证△CFG∽△BFC，利用比例关系得出结论.(3)由题意证△CBG∽△FBC，易得$BC^{2}=BF\cdot BG$，即$AB^{2}=BF\cdot BG$，结合(2)的结论求证即可.

答案： 证明　
(1)
∵BF⊥AE,CG//AE,
∴CG⊥BF.
即∠AHB=∠BGC=90°.
在正方形ABCD中,∠ABH+∠CBG=90°,又∠BAH+∠ABH=90°,
∴∠BAH=∠CBG,
∵AB=BC,
∴△ABH≌△BCG,
∴CG=BH;
(2)由∠FCG+∠GFC=∠CBF+∠GFC=90°得∠FCG=∠CBF.
易证△CFG∽△BFC,
∴$\frac{FC}{BF}$=$\frac{GF}{FC}$,即$FC^2=BF\cdot GF$.
(3)由题意易证△CBG∽△FBC,
∴$\frac{BC}{BF}$=$\frac{BG}{BC}$,即$BC^2=BF\cdot BG$.
∵AB=BC,
∴$AB^2=BF\cdot BG$.
结合
(2)得$\frac{FC^2}{AB^2}=\frac{BF\cdot GF}{BF\cdot BG}=\frac{GF}{BG}$,
即$\frac{FC^2}{AB^2}=\frac{GF}{GB}$