《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例2　$A$,$B$两地相距300km,甲、乙两人分别开车从$A$地出发前往$B$地,其中甲先出发1h,下图是甲、乙行驶路程$y_{甲}$(km),$y_{乙}$(km)随行驶时间$x$(h)变化的图象,请结合图象信息,解答下列问题:
(1)填空:甲的速度为______km/h;
(2)分别求出$y_{甲}$,$y_{乙}$与$x$之间的函数解析式;
(3)求出点$C$的坐标,并写出点$C$的实际意义.
　　　　　解题思路　(1)由题意可知,甲的路程与时间关系图象为正比例函数图象,根据速度=路程÷时间即可求解;
　　　　　(2)利用待定系数法求函数解析式;
　　　　　(3)令$y_{甲}=y_{乙}$,解出点$C$的坐标.
　　　　　　　　　

答案： 解析　
(1)60.
详解:由题意，结合图象可知甲的速度为$\frac{300}{5}=60\ km/h$。
(2)设$y_{甲}$关于$x$的函数解析式为$y_{甲}=kx$。把$(5,300)$代入得$300 = 5k$，解得$k = 60$。$\therefore y_{甲}=60x$。设$y_{乙}$关于$x$的函数解析式为$y_{乙}=k'x + b$。把$(1,0)$，$(4,300)$代入得$\begin{cases}k'+b = 0\\4k'+b = 300\end{cases}$，解得$\begin{cases}k' = 100\\b = - 100\end{cases}$，$\therefore y_{乙}=100x - 100$。
(3)令$60x = 100x - 100$，解得$x = 2.5$，把$x = 2.5$代入$y = 60x$，得$y = 150$，$\therefore$点$C$的坐标为$(2.5,150)$。点$C$的实际意义为当甲出发$2.5\ h$时，乙追上甲，此时他们距离$A$地$150\ km$。

变式2　疫苗接种,利国利民.甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗.甲地在前期完成5 万人接种后,甲、乙两地同时以相同速度接种.甲地经过$a$天后接种人数达到25万,由于情况变化,接种速度放缓,结果100天完成接种任务.乙地80天完成接种任务.在某段时间内,甲、乙两地的接种人数$y$(万)与各自接种时间$x$(天)之间的关系如图所示.
(1)直接写出乙地每天接种的人数及$a$的值;
(2)当甲地接种速度放缓后,求$y$关于$x$的函数解析式,并写出自变量$x$的取值范围;
　　　　　　　　　(3)当乙地完成接种任务时,求甲地未接种疫苗的人数.
　　　　　　　　

答案： 解析　
(1)乙地每天接种的人数为$0.5$万，$a = 40$。
提示:由题图可得乙地80天接种了40万人，$\therefore$每天接种$\frac{40}{80}=0.5$万人。$a=\frac{25 - 5}{0.5}=40$。
(2)设当甲地接种速度放缓后，$y$关于$x$的函数解析式为$y = kx + b(k\neq0)$。$\because y = kx + b(k\neq0)$的图象经过点$(40,25)$与点$(100,40)$，$\therefore\begin{cases}40k + b = 25\\100k + b = 40\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{4}\\b = 15\end{cases}$，$\therefore$当甲地接种速度放缓后，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1}{4}x + 15(40\leq x\leq100)$。
(3)由题图得，当$x = 80$时，乙地完成接种任务。把$x = 80$代入$y=\frac{1}{4}x + 15$，得$y=\frac{1}{4}\times80 + 15 = 35$。$40 - 35 = 5$。$\therefore$当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为5万。

变式3　某同学用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水,甲壶比乙壶加热速度快.在一段时间内,水温$y$(℃)与加热时间$x$(s)之间近似满足一次函数关系,根据记录的数据,画函数图象如下:
　　　　　　　　　　　(1)加热前水温是______℃;
　　　　　　　　　　　(2)求乙壶中水温$y$关于加热时间$x$的函数解析式;
　　　　　　　　　　　(3)当甲壶中水温刚达到80℃时,乙壶中水温是______℃.
　　　　　　　　　　　

答案： 解析　
(1)20.
(2)设乙壶中水温$y$关于加热时间$x$的函数解析式为$y = kx + b$，$\because$甲壶比乙壶加热速度快，$\therefore$分别把$(0,20)$，$(160,80)$代入得$\begin{cases}b = 20\\160k + b = 80\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{3}{8}\\b = 20\end{cases}$，$\therefore y=\frac{3}{8}x + 20(0\leq x\leq160)$。
(3)65.
详解:由题图可设甲壶中水温$y$关于加热时间$x$的函数解析式为$y = k'x + 20$，把$(80,60)$代入得$80k'+20 = 60$，解得$k'=\frac{1}{2}$，$\therefore y=\frac{1}{2}x + 20$，令$\frac{1}{2}x + 20 = 80$，解得$x = 120$，把$x = 120$代入$y=\frac{3}{8}x + 20$，得$y=\frac{3}{8}\times120 + 20 = 65$。故当甲壶中水温刚达到$80\ ^{\circ}C$时，乙壶中水温是$65\ ^{\circ}C$。