《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

1.(2020广东,15,4分)如图,在菱形ABCD中，∠A = 30°,取大于$\frac{1}{2}$AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则∠EBD的度数为________.
　　　　　　　

答案： 答案　45°
　解析　根据作图可知虚线为线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE,
∴∠EBA=∠A=30°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC,∠ABD=∠CBD.
∵∠A=30°,
∴∠ABC=150°,
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=75°,
∴∠EBD=75°−30°=45°.

2.(2023广东，19,9分)如图,在▱ABCD中，∠DAB = 30°.
　(1)实践与操作:用尺规作图法过点D作AB边上的高DE;(保留作图痕迹,不要求写作法)
　(2)应用与计算:在(1)的条件下,AD = 4,AB = 6,求BE的长.
　　　　　　　　　　　

答案：
解析　
(1)如图所示，线段DE就是所求作的高.
　　
(2)在Rt△ADE中,AD = 4,∠A =30°,
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=2.
　由勾股定理得
　AE=$\sqrt{AD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$.
∴BE=AB - AE=6 - 2$\sqrt{3}$.

3.(2022广州,22,10分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且AC = 8,BC = 6.
　　　(1)尺规作图:过点O作AC的垂线,交劣弧$\overset{\frown}{AC}$于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法);
　　　(2)在(1)所作的图形中,求点O到AC的距离及sin∠ACD的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解析　
(1)如图所示.
　　　　
(2)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
　在Rt△ABC中,AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$,
∴OA=OB=OD=5.
　设AC的垂线与AC交于点E,则AE=EC=$\frac{1}{2}$AC=4.
∵点O是AB的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC = 3,则DE=OD - OE=2.
　在Rt△DCE中,CD=$\sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$,
∴sin∠ACD=$\frac{DE}{CD}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

4.(2024广东,17,7分)如图,在△ABC中,∠C = 90°.
　　　(1)实践与操作:用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D.(保留作图痕迹,不要求写作法)
　　　(2)应用与证明:在(1)的条件下,以点D为圆心,DC长为半径作⊙D.求证:AB与⊙D相切.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解析　　
(1)如图,射线AD即为所求;
　　　　
(2)证明:过点D作DE⊥AB于点E,
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,
∴DE=CD,
∴DE为⊙D的半径，
∴AB与⊙D相切.