《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

专项训练
1.如图，二次函数y = ax²+bx + c的图象关于直线x = 1对称，与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点.若-2＜x₁＜-1，则下列四个结论：①3＜x₂＜4；②3a + 2b＞0；③$b^{2}＞a + c + 4ac$；④a＞c＞b.正确结论的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1　　　　　　　　　　
　B.2　　　　　　　　　
　C.3　　　　　　　　　
　D.4

答案： B
∵图象的对称轴为直线x = 1， -2＜x₁＜-1，
∴3＜x₂＜4，①正确；
∵ - $\frac{b}{2a}$ = 1，
∴b = -2a，
∴3a + 2b = 3a - 4a = -a，
∵a＞0，
∴3a + 2b＜0，②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b² - 4ac＞0，由题意可知当x = -1时，y＜0，
∴a - b + c＜0，
∴a + c＜b，
∵a＞0，
∴b = -2a＜0，
∴a + c＜0，
∴b² - 4ac＞a + c，即b²＞a + c + 4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c＜0，
∴a＞c，
∵a - b + c＜0，b = -2a，
∴3a + c＜0，
∴c＜-3a，
∴b = -2a＞c，④错误。
故正确的结论有2个。

2.二次函数y = ax²+bx + c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1,0)，对称轴为直线x = 2，下列结论：①abc＜0；②4a + c＞2b；③3b - 2c＞0；④若点A(-2,y₁)、点B(-$\frac{1}{2}$,y₂)、点C($\frac{7}{2}$,y₃)在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂；⑤4a + 2b≥m(am + b)(m为常数).其中正确的结论有　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.5个　　　　　　　　　
　B.4个　　　　　　　　
　C.3个　　　　　　　　
　D.2个

答案： C
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x = - $\frac{b}{2a}$ = 2，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确；
∵ - $\frac{b}{2a}$ = 2，
∴b = -4a，
∴b + 4a = 0，
∵抛物线经过点(-1,0)，
∴a - b + c = 0，
∴c = b - a = -4a - a = -5a，
∴4a + c - 2b = 4a - 5a + 8a = 7a＜0，
∴4a + c＜2b，②错误；
∵3b - 2c = -12a + 10a = -2a＞0，
∴③正确；
∵| - 2 - 2 | = 4，| - $\frac{1}{2}$ - 2 | = $\frac{5}{2}$，| $\frac{7}{2}$ - 2 | = $\frac{3}{2}$，
∴y₁＜y₂＜y₃，
当x = 2时，函数有最大值4a + 2b + c，
∴4a + 2b + c≥am² + bm + c，
∴4a + 2b≥m(am + b)(m为常数)，⑤正确。
故正确的结论有3个。

3.已知抛物线y = ax²+bx + c(a,b,c是常数)，a + b + c = 0.下列四个结论：
　①若抛物线经过点(-3,0)，则b = 2a；
　②若b = c，则方程cx²+bx + a = 0一定有根x = -2；
　③抛物线与x轴一定有两个公共点；
　④点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在抛物线上，若0＜a＜c，则当x₁＜x₂＜1时，y₁＞y₂.
　其中正确的是__________(填写序号).

答案： 答案　①②④
解析　当x = 1时，a + b + c = 0，
∴抛物线过点(1,0)。若抛物线过点(-3,0)，则对称轴为直线x = - $\frac{b}{2a}$ = $\frac{-3 + 1}{2}$ = -1，
∴b = 2a，
∴①正确。
由b = c，a + b + c = 0，可得a = -2b，
∴方程cx² + bx + a = 0可化为bx² + bx - 2b = 0。
∵a≠0，
∴b≠0，
∴x² + x - 2 = 0，解得x = -2或x = 1，
∴②正确。
∵a + b + c = 0，
∴b = -(a + c)，又Δ = b² - 4ac = [-(a + c)]² - 4ac = (a - c)²≥0，
∴抛物线与x轴有两个公共点或一个公共点，
∴③错误。
当x = 0时，y = c，
∵0＜a＜c，
∴抛物线开口向上， - $\frac{b}{2a}$ = $\frac{a + c}{2a}$＞1，又抛物线过点(1,0)，
∴对称轴必在点(1,0)的右侧，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴④正确。