《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

1.(2020深圳,8,3分)如图,在△ABC中,AB = AC.在AB、AC上分别截取AP,AQ,使AP = AQ,再分别以点P,Q为圆心,以大于$\frac{1}{2}$PQ的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点R,作射线AR,交BC于点D.若BC = 6,则BD的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　

A.2　　　
　B.3　　　
　C.4　　　
　D.5

答案： B 由作图过程可知∠BAD = ∠CAD. 又因为AB = AC, 所以BD = CD, 所以BD = $\frac{1}{2}BC = 3$.

2.(2020广东,20,6分)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB、AC边上的点,BD = CE,∠ABE = ∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明
∵BD = CE, ∠ABE = ∠ACD, ∠DFB = ∠EFC,
∴△DFB≌△EFC.
∴FB = FC.
∴∠FBC = ∠FCB.
∴∠FBC + ∠ABE = ∠FCB + ∠ACD,
即∠ABC = ∠ACB.
∴△ABC是等腰三角形.

3.(2021广州,13,3分)如图,在Rt△ABC中，∠C = 90°,∠A = 30°,线段AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD,若CD = 1,则AD的长为________.
　　　　　　　　　

答案： 答案 2
解析
∵DE是AB的垂直平分线,
∴DB = DA.
∵∠A = 30°,
∴∠DBA = ∠A = 30°.
∵∠C = 90°,
∴∠ABC = 180° - ∠C - ∠A = 60°.
∴∠DBC = ∠ABC - ∠DBA = 30°.
∵CD = 1,
∴BD = 2CD = 2.
∴AD = DB = 2.

4.(2020广东,17,4分)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.
　　　把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,∠ABC = 90°,点M,N 分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变,MN = 4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为________.
　　　　　　　　　

答案：
答案 $2\sqrt{5}-2$
解析 连接BE, 在此滑动过程中, MN的长度始终保持不变, ∠ABC = 90°,
∴BE = $\frac{1}{2}MN = 2$, 显然点E在以点B为圆心, $\frac{1}{2}MN$的长为半径的圆弧上. 如图, 当B、D、E三点共线时, DE有最小值.

∵点D到BA, BC的距离分别为4和2,
∴BD = $\sqrt{4^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}$,
∴DE最小值 = BD - BE = $2\sqrt{5}-2$.

5.(2023广东,20,9分)综合与实践
　　　主题:制作无盖正方体形纸盒.
　　　素材:一张正方形纸板.
　　　步骤1:如图1,将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形,并剪去四个角上的小正方形;
　　　步骤2:如图2,把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明:
(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A₁B₁C₁的大小关系;
(2)证明(1)中你发现的结论.
　　

答案：
解析
(1)∠ABC = ∠A₁B₁C₁.
(2)证明: 连接AC, 设小正方形边长为1.
∵BC² = 1² + 2² = 5, AC² = 1² + 2² = 5, AB² = 3² + 1² = 10,

∴BC = AC = $\sqrt{5}$, BC² + AC² = AB².
∴∠BCA = 90°.
∴∠ABC = ∠BAC = 45°.
∵A₁B₁是正方形A₁D₁B₁C₁的对角线,

∴∠A₁B₁C₁ = 45°.
∴∠ABC = ∠A₁B₁C₁.