《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例 如图,四边形ABCD是矩形,E、F分别是线段AD、BC上的点,点O是EF与BD的交点,若将△BED沿直线BD折叠,则点E与点F重合.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若ED = 2AE,AB·AD = 3√3,求EF·BD的值.

解题关键点 (1)利用折叠和平行线的性质可得BE=BF=DF=DE,进而判定四边形BEDF为菱形;
(2)利用线段比及面积关系得线段数量关系.

答案： 解析
(1)证明：
∵△BED沿直线BD折叠，点E与点F重合，
∴BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB.
又
∵四边形ABCD是矩形，且E、F分别是线段AD、BC上的点，
∴DE//BF，
∴∠EDB=∠FBD，
∴∠FDB=∠FBD.
∴BF=DF.
∴BE=BF=DF=DE.
∴四边形BEDF是菱形.
(2)
∵ED=2AE，E是线段AD上的点，
∴ED = $\frac{2}{3}AD$，
∵四边形BEDF是菱形，四边形ABCD是矩形，
∴$S_{菱形BEDF}=\frac{1}{2}EF\cdot BD = ED\cdot AB=\frac{2}{3}AD\cdot AB$.
∵AB·AD = $3\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}EF\cdot BD=\frac{2}{3}\times3\sqrt{3}$，
∴EF·BD = $4\sqrt{3}$.

变式1 如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,E为线段AD的中点,连接BE并延长与CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF = 90°.
(1)求证:四边形ABDF是矩形;
(2)若AD = 5,DF = 3,求四边形ABCF的面积S.

答案： 解析
(1)证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAE=∠FDE，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE.
在△ABE与△DFE中，
$\begin{cases}\angle AEB=\angle DEF, \\AE = DE, \\\angle BAE=\angle FDE\end{cases}$
∴△ABE≌△DFE(ASA).
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，又
∵∠BDF = 90°，
∴平行四边形ABDF是矩形.
(2)由
(1)得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD = 90°.
在Rt△ADF中，AD = 5，DF = 3，
∴AF = $\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，
∵四边形ABDF是矩形，
∴AB = DF = 3，BD = AF = 4.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB = CD = 3，
∵∠BDF = 90°，
∴∠BDC = 90°，
∴△BCD是直角三角形.
∴S = $S_{矩形ABDF}+S_{Rt\triangle BCD}=BD\cdot DF+\frac{1}{2}CD\cdot BD = 4\times3+\frac{1}{2}\times3\times4 = 18$，
∴四边形ABCF的面积S = 18.

变式2 如图,点E为正方形ABCD外一点,∠AEB = 90°,将Rt△ABE绕A点逆时针旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于H点.
(1)试判断四边形AFHE的形状,并说明理由;
(2)已知BH = 7,BC = 13,求DH的长.

答案：
解析
(1)四边形AFHE是正方形，理由如下：
根据旋转的性质可知∠AEB = ∠AFD = 90°，AE = AF，∠DAF = ∠EAB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB = 90°，
∴∠FAE = ∠DAB = 90°，
∴∠AEB = ∠AFH = ∠FAE = 90°，
∴四边形AFHE是矩形.
又
∵AE = AF，
∴矩形AFHE是正方形.
(2)连接BD.

在Rt△BCD中，
∵BC = CD = 13，
∴BD = $\sqrt{CD^{2}+BC^{2}} = 13\sqrt{2}$.
∵四边形AFHE是正方形，
∴∠EHD = 90°，
∴∠DHB = 90°.
在Rt△DHB中，BH = 7，
∴DH = $\sqrt{BD^{2}-BH^{2}}=\sqrt{(13\sqrt{2})^{2}-7^{2}} = 17$.