《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

1.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则∠A的度数是________.(用含α的代数式表示)

答案： 答案　180° - 2α
解析
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C,
在△BDF 和△CED 中,
$\begin{cases} BF = CD, \\ \angle B = \angle C, \\ BD = CE, \end{cases}$
∴ △BDF≌△CED(SAS),
∴ ∠DFB = ∠EDC,
∴ ∠FDE = ∠B
= (180° - ∠A)÷2 = 90° - $\frac{1}{2}$∠A,
∵ ∠FDE = α,
∴ ∠A = 180° - 2α.

2.如图，AB=AC，AD=AE，B、D、E三点在同一条直线上，∠BAC=∠DAE，∠1=15°，∠2 = 25°，则∠3的度数为________.

答案： 答案　40°
解析
∵ ∠BAC = ∠DAE,
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,
即∠BAD = ∠CAE,
在△BAD 与△CAE 中,
$\begin{cases} AB = AC, \\ \angle BAD = \angle CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △BAD≌△CAE(SAS),
∴ ∠ABD = ∠2 = 25°,
∴ ∠3 = ∠1 + ∠ABD = 15° + 25° = 40°.

3.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DC上一点，AE=EF，AE⊥EF，若BE=3，矩形ABCD的周长为26，则矩形ABCD的面积为________.

答案： 答案　40
解析
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AB = CD,AD = BC,∠B = ∠C = 90°,
∵ 矩形 ABCD 的周长为 26,
∴ AB + BC = 13,
∵ AE⊥EF,
∴ ∠AEF = 90°,
∴ ∠AEB + ∠CEF = 90°,
∵ ∠AEB + ∠BAE = 90°,
∴ ∠BAE = ∠CEF,
在△ABE 和△ECF 中,
$\begin{cases} \angle B = \angle C, \\ \angle BAE = \angle CEF, \\ AE = EF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ECF(AAS),
∴ AB = EC,
∵ AB + BC = 13,
∴ AB + BE + EC = 13,
∴ AB + 3 + AB = 13,
∴ AB = 5,
∴ BC = 8,
∴ S_{矩形ABCD}= AB·BC = 5×8 = 40.

4.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=4，点D是斜边BC的中点，将△ABC绕点D旋转得到△GEF，直线AG、FC相交于点Q，连接BQ，则线段BQ长度的最大值是________.

答案：
答案　2$\sqrt{5}$ + 2
解析　如图,连接 AD,DG,取 AC 的中点 O,连接 BO,OQ,

∵ △ABC 和△GEF 是等腰直角三角形,
∴ AD = BD = CD = DG = DF,AD⊥BC,GD⊥EF,
∴ ∠ADC = ∠GDF = 90°,
∴ ∠ADG = ∠CDF,
在△ADG 和△CDF 中,
$\begin{cases} AD = CD, \\ \angle ADG = \angle CDF, \\ DG = DF, \end{cases}$
∴ △ADG≌△CDF,
∴ ∠DAG = ∠DCF,
∵ ∠DCF + ∠DCQ = 180°,
∴ ∠DAG + ∠DCQ = 180°,
∴ ∠ADC + ∠AQC = 180°,
∴ ∠AQC = 90°,
∴ 点 Q 在以 AC 为直径的圆上运动,
∴ 当点 Q 在 BO 的延长线上时,BQ 长有最大值,
∵ AB = AC = 4,点 O 是 AC 的中点,
∴ AO = CO = 2 = OQ,
∴ BO = $\sqrt{AB^{2}+AO^{2}}$ = $\sqrt{16 + 4}$ = 2$\sqrt{5}$,
∴ 线段 BQ 长度的最大值为 2$\sqrt{5}$ + 2.

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B'C，求△AB'C的面积.

答案：
解析　如图,过点 B'作 B'E⊥AC 于点 E,

∵ ∠ACB = 90°,斜边 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 AB',
∴ ∠BAB' = ∠BAC + ∠B'AC = 90°,
∵ ∠BAC + ∠ABC = 90°,
∴ ∠B'AC = ∠ABC. 又
∵ AB = AB', ∠BCA = ∠AEB' = 90°,
∴ △BCA≌△AEB'(AAS),
∴ AC = B'E = 4,
∴ S_{△AB'C}= $\frac{1}{2}$AC·B'E = $\frac{1}{2}$×4×4 = 8.