《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

变式2　下图是钉板示意图,所有钉点都是边长为1个单位长的小正方形的顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E.
(1)AB与CD是否垂直?__________(填“是”或“否”).
(2)AE = ____________.
　　　　　

答案： 答案　
(1)是　
(2)$\frac{4\sqrt{5}}{5}$

变式3　如图,在矩形ABCD中,AB = 12 cm,BC = 6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动时间(0≤t≤6).
　　　　　　　　　(1)当t为何值时,△QAP为等腰三角形？
　　　　　　　　　(2)当t为何值时,以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
　　　　　　　　　(3)设△QCP的面积为S($cm^{2}$),求S与t之间的函数关系式,并求出当t为何值时,△QCP的面积有最小值？最小面积是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解析　
(1)由运动知，$AP = 2t\ cm$，$DQ = t\ cm$，$\therefore QA=(6 - t)\ cm$.
由题图易知，若$\triangle QAP$为等腰三角形，则$QA = AP$，$\therefore 6 - t = 2t$，$\therefore t = 2$，
$\therefore$当$t$为$2\ s$时，$\triangle QAP$为等腰三角形.
(2)在矩形$ABCD$中，
①当$\triangle QAP\sim\triangle ABC$时，$\frac{QA}{AB}=\frac{AP}{BC}$，
$\therefore \frac{6 - t}{12}=\frac{2t}{6}$，$\therefore t = 1.2$；
②当$\triangle PAQ\sim\triangle ABC$时，$\frac{QA}{BC}=\frac{AP}{AB}$，
$\therefore \frac{6 - t}{6}=\frac{2t}{12}$，$\therefore t = 3$.
$\therefore$当$t$为$1.2\ s$或$3\ s$时，以点$Q$、$A$、$P$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似.
(3)$S_{\triangle QCP}=S_{四边形ABCD}-S_{\triangle CDQ}-S_{\triangle PBC}-S_{\triangle QAP}=12\times6-\frac{1}{2}\times12\times t-\frac{1}{2}\times6\times(12 - 2t)-\frac{1}{2}\times2t\times(6 - t)=36 - 6t + t^2=(t - 3)^2+27$，
$\because 0\leq t\leq6$，$\therefore$当$t$为$3\ s$时，$\triangle QCP$的面积最小，最小面积为$27\ cm^2$.