《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例1　如图所示，半圆的直径AB = 40，C，D是半圆上的三等分点，点E是OA的中点，则阴影部分面积等于____________。
　　　　　　
解题思路　连接OC、OD、CD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算扇形面积即可。

答案：
答案 $\frac{200}{3}\pi$
解析 连接$OC、OD、CD$,如图,
$\because C,D$是半圆上的三等分点,
$\therefore \angle AOC=\angle COD=\angle BOD = 60^{\circ}$,
$\because OC = OD,\therefore \triangle OCD$为等边三角形,
$\therefore \angle OCD = 60^{\circ},\therefore \angle OCD=\angle AOC$,
$\therefore CD// AB,\therefore S_{\triangle ECD}=S_{\triangle OCD}$,
$\therefore$ 阴影部分面积 $= S_{扇形OCD} =$
$\frac{60\cdot\pi\cdot20^{2}}{360}=\frac{200}{3}\pi$.

例2　如图，四边形ABCD中，∠A = 60°，AB//CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE长为半径，且DE = 6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）
　　　　　
A.6π - 9√3
B.12π - 9√3
C.6π - $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
D.12π - $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
解题思路　将阴影部分面积转化为扇形DEF和三角形DEF的面积之差，作EG⊥CD于点G，求出∠EDF和∠DEF的度数，结合直角三角形的性质求出所需线段长求解即可。

答案：
B 如图,过点$E$作$EG\perp CD$于点$G.\because DE\perp AD,\therefore \angle ADE = 90^{\circ}$,
在$Rt\triangle ADE$中,$\angle A = 60^{\circ},\therefore \angle AED = 30^{\circ}$,
$\because AB// CD,\therefore \angle AED=\angle EDF = 30^{\circ}$,

$\because DE = FE,\therefore \angle EDF=\angle EFD = 30^{\circ}$,
$\therefore \angle DEF=180^{\circ}-\angle EDF-\angle EFD = 120^{\circ}$,
$\therefore S_{扇形DEF}=\frac{120\pi\cdot6^{2}}{360}=12\pi$.
$\because EG\perp DF,\therefore \angle DGE = 90^{\circ}$,
在$Rt\triangle DEG$中,$\angle EDF = 30^{\circ}$,
$\therefore EG=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\times6 = 3$,
$DG = DE\cdot\cos\angle EDF=6\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.
$\therefore DF = 2DG = 6\sqrt{3},\therefore S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}DF\cdot EG=\frac{1}{2}\times6\sqrt{3}\times3 = 9\sqrt{3},\therefore S_{阴影} = S_{扇形DEF}-S_{\triangle DEF}=12\pi - 9\sqrt{3}$.

变式1　如图，半圆O的直径AB = 6，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于________。
　　　　　　　　　　

答案：
答案 $4.5\pi - 9$
解析 连接$A'P.\because A'B$是直径,
$\therefore \angle A'PB = 90^{\circ}$,
$\because \angle OBA' = 45^{\circ}$,
$\therefore \triangle A'PB$是等腰直角三角形,
$\therefore PA' = PB=\frac{\sqrt{2}}{2}A'B = 3\sqrt{2}$,
$\therefore \overset{\frown}{A'P}=\overset{\frown}{BP}$,
$\therefore S_{阴影} = S_{扇形ABA'}-S_{\triangle A'BP}=\frac{45\pi\times6^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times3\sqrt{2}\times3\sqrt{2}=4.5\pi - 9$.

变式2　如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 2.以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC、AB于点D、E，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）。
　　　　　　　　　　　　

答案：
答案 $\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$
解析 连接$CE$,过点$E$作$EF\perp BC$于点$F$.

在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ},\angle A = 30^{\circ},\therefore \angle ABC = 90^{\circ}-\angle A = 60^{\circ}$,
又$\because BC = CE = 2,\therefore \triangle CBE$为等边三角形,$\therefore BE = BC = 2,\angle BCE = 60^{\circ}$,
$\therefore EF = BE\cdot\sin\angle ABC=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
$\therefore S_{阴影} = S_{扇形BCE}-S_{\triangle BCE}=\frac{60\pi\cdot BC^{2}}{360}-\frac{1}{2}\cdot BC\cdot EF=\frac{60\pi\times2^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$.