《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

变式3　如图，在Rt$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，AO是$\triangle ABC$的角平分线，以O为圆心，OC为半径作$\odot O$与直线AO交于点E和点D。求证：AB是$\odot O$的切线。
　　　　　　　　　　　

答案：
证明　如图，过$O$作$OH\perp AB$于$H$.

$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，$AO$是$\triangle ABC$的角平分线，$\therefore OC = OH$，
$\therefore OH$为半径，又$\because OH\perp AB$，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线.

变式4　已知AB为$\odot O$的直径，$AB = 6$，C为$\odot O$上的一点，连接CA，CB。
(1)如图①，若C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，求$\angle CAB$的大小和AC的长；
(2)如图②，若$AC = 2$，OD为$\odot O$的半径，且$OD\perp CB$，垂足为E，过点D作$\odot O$的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长。
　　　　　　　　　　

答案： 解析　
(1)$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore\angle ACB = 90^{\circ}$.
由$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore AC = BC$，得$\angle ABC=\angle CAB$.
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC+\angle CAB = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle CAB = 45^{\circ}$.
根据勾股定理，有$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$.
又$AB = 6$，$\therefore 2AC^{2}=36$.
$\therefore AC = 3\sqrt{2}$(负值舍去).
(2)$\because FD$是$\odot O$的切线，
$\therefore OD\perp FD$，即$\angle ODF = 90^{\circ}$.
$\because OD\perp CB$，垂足为$E$，
$\therefore\angle CED = 90^{\circ}$，$CE=\frac{1}{2}CB$.
易得$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle FCE = 90^{\circ}$.
$\therefore\angle FCE=\angle CED=\angle ODF = 90^{\circ}$.
$\therefore$四边形$ECFD$为矩形.
$\therefore FD = CE$，$\therefore FD=\frac{1}{2}CB$.
在$Rt\triangle ABC$中，由$AB = 6$，$AC = 2$得，
$CB=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=4\sqrt{2}$.
$\therefore FD = 2\sqrt{2}$.