《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

1.(2022广东,9,3分)点(1,y₁),(2,y₂),(3,y₃),(4,y₄)在反比例函数y = $\frac{4}{x}$的图象上,则y₁,y₂,y₃,y₄中最小的是 (　　　)
A.y₁　　
　B.y₂　　
　C.y₃　　
　D.y₄

答案： D
∵k = 4＞0,
∴在第一象限内,y随x的增大而减小.
∵(1,y₁),(2,y₂),(3,y₃),(4,y₄)在反比例函数y = $\frac{4}{x}$的图象上,且1＜2＜3＜4,
∴y₁＞y₂＞y₃＞y₄,即y₄最小.

2.(2021广州,14,3分)一元二次方程x² - 4x + m = 0有两个相等的实数根,点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是反比例函数y = $\frac{m}{x}$图象上的两个点,若x₁ ＜ x₂ ＜ 0,则y₁____y₂.(填“＜”“＞”或“=”)

答案： 答案 ＞
解析
∵一元二次方程x² - 4x + m = 0有两个相等的实数根,
∴Δ = (-4)² - 4m = 0,解得m = 4.
∴反比例函数的解析式为y = $\frac{4}{x}$.
∴当x＜0时,y随x的增大而减小.
又
∵x₁＜x₂＜0,
∴y₁＞y₂.

3.(2023深圳,14,3分)如图,Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中,∠AOB = ∠BOC = 30°,BA⊥OA,CB⊥OB,若AB = $\sqrt{3}$,反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k≠0)的图象恰好经过点C,则k = ____.
　　　　　

答案：
答案 4$\sqrt{3}$
解析 如图,过点C作CD⊥x轴于点D,

在Rt△AOB中,∠OAB = 90°,∠AOB = 30°,AB = $\sqrt{3}$,
∴OB = 2AB = 2$\sqrt{3}$,
在Rt△OBC中,∠OBC = 90°,∠BOC = 30°,OB = 2$\sqrt{3}$,
∴cos∠BOC = cos 30° = $\frac{OB}{OC}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{OC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴OC = 4,
∵在Rt△OCD中,∠COD = 90° - ∠AOB - ∠BOC = 30°,∠CDO = 90°,
∴CD = $\frac{1}{2}$OC = 2,
OD = $\sqrt{3}$CD = 2$\sqrt{3}$,
∴C(2$\sqrt{3}$,2),
∴k = 2×2$\sqrt{3}$ = 4$\sqrt{3}$.

4.(2022深圳,14,3分)如图,已知直角三角形ABO中,AO = 1,将△ABO绕O点顺时针旋转至△A'B'O的位置,且A'在OB中点处,B'在反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k＞0)的图象上,则k的值为 ____.
　　　　　　　　　　

答案：
答案 $\sqrt{3}$
解析 连接AA',作B'E⊥x轴于点E,由旋转的性质知OA = OA',∠AOB = ∠A'OB',OB = OB',又A'是OB中点,
∴AA' = $\frac{1}{2}$OB = OA' = OA,
∴△AOA'是等边三角形,
∴∠AOB = 60°,
∴OB = 2OA = 2,∠A'OB' = 60°,
∴OB' = 2,∠B'OE = 60°,
∴OE = $\frac{1}{2}$OB' = 1,
∴B'E = $\sqrt{3}$OE = $\sqrt{3}$,
∴B'(1,$\sqrt{3}$),
∵B'在反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k＞0)的图象上,
∴k = 1×$\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$.

5.(2021深圳,14,3分)已知反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图象经过第一象限内的点A(2,3),连接AO并延长交反比例函数图象于点B,将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,则C点坐标为____.
　　　　　

答案：
答案 (4,-7)
解析 设直线AB的表达式为y = mx,将A点坐标(2,3)分别代入y = mx和y = $\frac{k}{x}$中,可得m = $\frac{3}{2}$,k = 6,
∴y = $\frac{3}{2}$x,y = $\frac{6}{x}$.联立得$\begin{cases}y = \frac{3}{2}x\\y = \frac{6}{x}\end{cases}$,
解得$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$或$\begin{cases}x = -2\\y = -3\end{cases}$,
∴B(-2,-3).
过点B作y轴的平行线l,过点A,点C分别作l的垂线,分别交l于D,E两点,则D(-2,3),
易证△ABD≌△BCE,
∴AD = BE = 4,BD = CE = 6.
∴C(4,-7).

6.(2021广东,21,8分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y = kx + b(k＞0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y = $\frac{4}{x}$图象的一个交点为P(1,m).
(1)求m的值;
(2)若PA = 2AB,求k的值.

答案：
解析
(1)
∵P(1,m)在反比例函数y = $\frac{4}{x}$的图象上,
∴m = 4.
(2)过点P作x轴的垂线,垂足为点C,点B在直线y = kx + b(k＞0)上,则点B(0,b).
①如图,当b＞0时,易得△ACP∽△AOB,

∴$\frac{CP}{AP}$ = $\frac{OB}{AB}$,
∵PA = 2AB,
∴$\frac{4}{2AB}$ = $\frac{b}{AB}$,得b = 2.
∵点P(1,4)在直线AB上,
∴k + 2 = 4,得k = 2.
②如图,当b＜0时,易得△ACP∽△AOB,

∴$\frac{CP}{AP}$ = $\frac{OB}{AB}$,
∵PA = 2AB,
∴$\frac{4}{2AB}$ = $\frac{-b}{AB}$,得b = -2.
∵点P(1,4)在直线AB上,
∴k + (-2) = 4,得k = 6.
综上,k = 2或k = 6.