《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

专项训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D是BC中点，CE⊥AD，垂足为E，若∠CAB = 40°，则∠BED = ______.

答案： 答案　$50^{\circ}$
解析
∵CE⊥AD,
∴∠CED=∠ACB=90°,
∵∠CDE=∠ADC,
∴△CDE∽△ADC,
∴CD:AD=DE:CD,
∴$CD^2=DE\cdot AD$.
∵D是BC的中点，
∴BD=CD,
∴$BD^2=DE\cdot AD$,
∴BD:AD=DE:BD,
又
∵∠ADB=∠BDE,
∴△BDE∽△ADB,
∴∠BED=∠ABC,
∵∠ACB=90°,∠CAB=40°,
∴∠ABC=90°−40°=50°,
∴∠BED=50°.

2.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 8，BC = 6，D是AB上一点，且AD = 2，过点D作DE//BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，则图2中$\frac{BD}{CE}$的值为______.

答案： 答案　$\frac{4}{5}$
解析　在题图1中，
∵AB=8,BC=6,∠ABC=90°,
∴$AC=\sqrt{6^2 + 8^2}=10$,
∵DE//BC,
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$,
∴$\frac{2}{8}$=$\frac{AE}{10}$,解得AE=2.5.
在题图2中，
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAB=∠EAC,
∵$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{4}{5}$，
∴△ADB∽△AEC.
∴$\frac{BD}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{4}{5}$

3.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$.
(1)若AB = 8，求线段AD的长；
(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积.

答案： 解析　
(1)由题意得DE//BC,所以△ADE∽△ABC.
所以$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{4}$.
因为AB=8,所以AD=2.
(2)设△ABC的面积为S,△ADE 的面积为$S_1$,△CEF的面积为$S_2$.因为$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{4}$,所以$\frac{S_1}{S}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{1}{16}$
因为$S_1$=1,所以S=16.
因为$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{4}$,所以$\frac{CE}{CA}$=$\frac{3}{4}$.由题意得EF//AB,所以△CEF ∽△CAB.
所以$\frac{S_2}{S}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$,所以$S_2$=9,所以平行四边形BFED的面积=S - $S_1$ - $S_2$=6.