《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

11.(2023广州,25,12分)如图,在正方形ABCD中,E是边AD上一动点(不与点A,D重合),边BC关于BE对称的线段为BF,连接AF.
(1)若∠ABE = 15°,求证:△ABF是等边三角形.
(2)延长FA,交射线BE于点G.
①△BGF能否为等腰三角形?如果能,求此时∠ABE的度数;如果不能,请说明理由.
②若AB = $\sqrt{3}$ + $\sqrt{6}$,求△BGF面积的最大值,并求此时AE的长.

答案：
11.解析　
(1)证明：由对称得∠FBE = ∠CBE = 90° - 15° = 75°，
∴∠FBA = 75° - 15° = 60°。
又
∵FB = CB = AB，
∴△ABF是等边三角形。
(2)①能。
如图，设∠ABE = α，则∠EBC = ∠FBG = 90° - α。

∴∠FBA = 90° - 2α。
∵FB = BC = AB，
∴∠F = ∠FAB = 45° + α，
∴∠AGE = ∠FAB - ∠ABE = 45°。
当BG = BF时，∠AGE = ∠F，
∴45° = 45° + α，α不存在。
当BG = FG时，∠F = ∠FBG，
∴45° + α = 90° - α，
解得α = 22.5°。
当BF = FG时，∠AGE = ∠FBG，
∴45° = 90° - α，
解得α = 45°，
此时E、D重合，不符合题意，舍去。
综上，若△BGF为等腰三角形，则∠ABE的度数为22.5°。
②连接CG，易得△FBG≌△CBG，
∴$S_{\triangle BGF}=S_{\triangle CBG}$。
由①得∠BGC = ∠BGF = 45°，
∴∠AGC = 90° = ∠ABC。
连接AC，BD交于O。

易知A、G、C、B四点共圆，圆心为O。
过G作GH⊥BC于H，当GH过点O时，GH的长度最大。
此时$OH=\frac{1}{2}BC$，$OG = OB=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$，
∴$GH=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})BC$。
∴$S_{\triangle BCG}$的最大值$=\frac{1}{2}BC\cdot GH=\frac{1 + \sqrt{2}}{4}BC^{2}=\frac{1+\sqrt{2}}{4}AB^{2}=\frac{21 + 15\sqrt{2}}{4}$。
∵AB⊥BC，GH⊥BC，
∴AB//GH，
∴∠ABE = ∠HGB，又∠BAE = ∠GHB = 90°，
∴△ABE∽△HGB，
∴$\frac{AE}{HB}=\frac{AB}{HG}$，
∴$AE=\frac{HB}{HG}\cdot AB=\frac{\frac{1}{2}BC}{(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})BC}\cdot AB=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot AB=\sqrt{3}$。
综上，△BGF面积的最大值为$\frac{21 + 15\sqrt{2}}{4}$，此时AE的长为$\sqrt{3}$。