《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

5.(2024广州,19,6分)如图,Rt△ABC中,∠B = 90°.
　(1)尺规作图:作AC边上的中线BO(保留作图痕迹,不写作法).
　(2)在(1)所作的图中,将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO,连接AD,CD.
　求证:四边形ABCD是矩形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解析　　
(1)如图，线段BO即为所求.
　　　　
(2)证明:如图，
　　　　
　由题意可得AO=CO,
　由旋转可得B、O、D三点共线，且BO=DO,
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠ABC=90°,
∴四边形ABCD为矩形.

6.(2020广州,23,12分)如图,△ABD中,∠ABD = ∠ADB.
　(1)作点A关于BD的对称点C.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
　(2)在(1)所作的图中,连接BC,DC,连接AC,交BD于点O.
　①求证:四边形ABCD是菱形;
　②取BC的中点E,连接OE,若OE = $\frac{13}{2}$,BD = 10.求点E到AD的距离.
　　
　　　　　　　　　　　　　

答案：
解析　
(1)如图，点C即为所求作的对称点.
　　
(2)①证明:
∵∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD.
∵C点与A点关于直线BD对称，AC与BD交于点O,
∴AO⊥BD,AO=OC,
∴BO=OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
　　　
　②过点E作EF⊥AD,交AD的延长线于点F.
∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=OD=$\frac{1}{2}$BD=5,AB=2OE=13.
∴在Rt△AOB中,AO=$\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12$,
∴AC=2AO=24.
∵$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=AD\cdot EF$,
∴$\frac{1}{2}\times24\times10 = 13EF$,
∴EF=$\frac{120}{13}$.
∴点E到AD的距离为$\frac{120}{13}$.