《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例1　如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB = 16 m，则这棵树CD的高度是　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　
A.8(3 - $\sqrt{3}$)m
B.8(3 + $\sqrt{3}$)m
C.6(3 - $\sqrt{3}$)m
D.6(3 + $\sqrt{3}$)m
解题思路　设CD = x m，可得AD = x m，BD = (16 - x)m，在Rt△BCD中，利用∠B的正切函数值即可求解。

答案： 例1　A　设$CD = x\ m$，在$Rt\triangle ADC$中，$\angle A = 45^{\circ}$，
$\therefore CD = AD = x\ m$，
$\therefore BD=(16 - x)\ m$，
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle B = 60^{\circ}$，
$\therefore CD = BD\cdot\tan B$，
即$x = \sqrt{3}(16 - x)$，
解得$x = 8(3 - \sqrt{3})$。

例2　如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号。一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援。求AB的长(结果取整数)。
参考数据：tan 40°≈0.84，$\sqrt{3}$取1.73。
　　　　　　　　　
解题思路　通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义列方程求解即可。

答案：
解析　如图，过点$B$作$BH\perp CA$，垂足为$H$；

根据题意可知$\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle BCA = 40^{\circ}$，$CA = 257$海里。
$\because$在$Rt\triangle BAH$中，$\tan\angle BAH=\frac{BH}{AH}$，$\cos\angle BAH=\frac{AH}{AB}$，$\therefore BH = AH\cdot\tan60^{\circ}=\sqrt{3}AH$，$AB=\frac{AH}{\cos60^{\circ}} = 2AH$。
$\because$在$Rt\triangle BCH$中，$\tan\angle BCH=\frac{BH}{CH}$，
$\therefore CH=\frac{BH}{\tan40^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}AH}{\tan40^{\circ}}$。
又$CA = CH + AH$，
$\therefore 257=\frac{\sqrt{3}AH}{\tan40^{\circ}}+AH$。
解得$AH=\frac{257\tan40^{\circ}}{\sqrt{3}+\tan40^{\circ}}$。
$\therefore AB=\frac{2\times257\tan40^{\circ}}{\sqrt{3}+\tan40^{\circ}}\approx\frac{2\times257\times0.84}{1.73 + 0.84}=168$(海里)。
答：$AB$的长约为168海里。