《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

变式1　已知抛物线$y = a(x - m)^{2}+n(a\neq0)$的顶点坐标为$(2,4)$，且与$y$轴的交点为$P(0,2)$，求$a$的值。

答案： 解析
∵抛物线的顶点坐标为$(2,4)$，$\therefore$抛物线的函数解析式为$y = a(x - 2)^{2}+4$.
将$P(0,2)$代入解析式得$4a + 4 = 2$，
$\therefore a = -\frac{1}{2}$.

变式2　已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$经过$A(2,0)$，对称轴是直线$x = 1$。关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = x$有两个相等的实数根。求抛物线的解析式。

答案： 解析
∵抛物线的对称轴是直线$x = 1$，且过点$A(2,0)$，$\therefore$抛物线必过点$(0,0)$.设抛物线对应的函数解析式为$y = ax(x - 2)$.$\because$关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = x$有两个相等的实数根，$\therefore$方程$ax(x - 2)=x$，即$ax^{2}-(2a + 1)x = 0$有两个相等的实数根.
$\therefore \Delta=(2a + 1)^{2}=0$，解得$a = -\frac{1}{2}$.
$\therefore$抛物线的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x(x - 2)$，即$y = -\frac{1}{2}x^{2}+x$.

例2　二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1) 写出方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根；
(2) 写出不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集；
(3) 写出$y$随$x$的增大而减小的自变量$x$的取值范围；
(4) 若方程$ax^{2}+bx + c = k$有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围。

解题思路　(1) 方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根即为图象与$x$轴的两个交点的横坐标；(2) 不等式的解集即为图象在$x$轴上方时所对应的$x$的取值范围；(3) 根据二次函数图象的对称轴的相关性质，结合图象即可得解；(4) 方程$ax^{2}+bx + c = k$的根即为二次函数图象与直线$y = k$的交点的横坐标，观察图象，即可得有2个交点时$k$的取值范围。

答案： 解析
(1)方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根是1和3.
(2)不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集是$1＜x＜3$.
(3)当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小.
(4)作直线$y = k$，当$k = 2$时，直线$y = k$过抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的顶点，这时方程$ax^{2}+bx + c = k$有两个相等的实数根；当$k＜2$时，直线$y = k$与抛物线$y = ax^{2}+bx + c$有两个交点，这时方程$ax^{2}+bx + c = k$有两个不相等的实数根.故$k＜2$.

变式3　已知二次函数$y = x^{2}+mx + m^{2}-3(m$为常数，$m＞0)$的图象经过点$P(2,4)$。
(1) 求$m$的值；
(2) 判断二次函数$y = x^{2}+mx + m^{2}-3$的图象与$x$轴交点的个数，并说明理由。

答案： 解析
(1)$\because$二次函数$y = x^{2}+mx + m^{2}-3$的图象经过点$P(2,4)$，
$\therefore 4 = 4 + 2m + m^{2}-3$，$\therefore m^{2}+2m - 3 = 0$，
解得$m_{1}=1$，$m_{2}=-3$，
又$\because m＞0$，$\therefore m = 1$.
(2)交点个数为2.
理由：由
(1)知二次函数的解析式为$y = x^{2}+x - 2$，令$x^{2}+x - 2 = 0$，则$\Delta = 1^{2}-4\times1\times(-2)=9＞0$，
$\therefore x^{2}+x - 2 = 0$有两个不相等的实数根，$\therefore$二次函数$y = x^{2}+x - 2$的图象与$x$轴的交点个数为2.