《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

1.(2023广东,6,3分)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一种0.618法应用了　　　　　　　　　　　(　　　)
A.黄金分割数　　　
　B.平均数
C.众数　　　　　　
　D.中位数

答案： A 黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$.

2.(2018广东,7,3分)在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\frac{1}{2}$　　
　B.$\frac{1}{3}$　　
　C.$\frac{1}{4}$　　
　D.$\frac{1}{6}$

答案： 因为D、E分别是边AB、AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE//BC，所以△ADE∽△ABC，且相似比是$\frac{1}{2}$，所以它们的面积比为$\frac{1}{4}$.

3.(2023广东,15,3分)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为________.

答案：
答案 15
解析 如图，

∵BF//DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BF}{DE}$，
∵AB = 4，AD = 4 + 6 + 10 = 20，DE = 10，
∴$\frac{4}{20}=\frac{BF}{10}$，
∴BF = 2，
∴GF = 6 - 2 = 4.
∵CK//DE，
∴△ACK∽△ADE，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{CK}{DE}$，
∵AC = 4 + 6 = 10，AD = 20，DE = 10，
∴$\frac{10}{20}=\frac{CK}{10}$，
∴CK = 5，
∴HK = 6 - 5 = 1.
∴$S_{阴影}=\frac{1}{2}(HK + GF)\cdot GH$
=$\frac{1}{2}\times(1 + 4)\times6$
= 15.

4.(2022深圳,15,3分)已知△ABC是直角三角形,∠ABC = 90°,AB = 3,BC = 5,AE = 2$\sqrt{5}$,连接CE,以CE为斜边作直角三角形CDE且CD = DE,F是AE边上的一点,连接BD和BF,且∠FBD = 45°,则AF长为________.

答案：
答案 $\frac{3\sqrt{5}}{4}$
解析 将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接FH，EH，延长HE交BC于G，

∴∠BDH = 90°，HD = BD，
又
∵△EDC是直角三角形，
∴∠EDH = ∠CDB，又ED = CD，
∴△EDH≌△CDB(SAS)，
∴EH = CB = 5，∠EHD = ∠CBD，
∴∠BGH = ∠BDH = 90°，
∵△BDH是等腰直角三角形，
∴∠HBD = 45°，又∠FBD = 45°，
∴B、F、H三点共线.
∵∠BGH = 90°，∠ABC = 90°，
∴HE//AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{EF}=\frac{AF}{AE - AF}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{AF}{2\sqrt{5}-AF}$，
∴$AF=\frac{3\sqrt{5}}{4}$.

5.(2018广州,16,3分)如图,CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线,垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F.则下列结论:
①四边形ACBE是菱形$;②∠ACD = ∠BAE;③AF:BE = 2:3;④S_{四边形AFOE}:S_{△COD}= 2:3.$
其中正确的结论有________.(填写所有正确结论的序号)

答案： 答案 ①②④
解析 由CE是边AB的垂直平分线可得AC = CB，所以∠CAB = ∠CBA，由四边形ABCD是平行四边形可得AB//CD，AD//BC，所以∠CAB = ∠ACD，∠BAE = ∠CBA，所以∠CAB = ∠ACD = ∠BAE，故②正确.由∠CAO = ∠EAO，AO = AO，∠AOC = ∠AOE可得△AOC≌△AOE(ASA)，从而AE = AC，又AC = BC，所以AE = BC，因为AE//CB，所以四边形ACBE是平行四边形，因为AC = BC，所以四边形ACBE是菱形，故①正确.由AO//CD，可得$\frac{AF}{FC}=\frac{AO}{DC}=\frac{EO}{EC}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{AF}{BE}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$，故③错误.设$S_{\triangle AFO}=S$，由$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，可得$S_{\triangle CFO}=2S$，再根据△AFO∽△CFD可得$S_{\triangle DFC}=4S$，所以$S_{\triangle COD}=6S$，$S_{\triangle COA}=3S = S_{\triangle AOE}$，所以$S_{四边形AFOE}=4S$，所以$S_{四边形AFOE}:S_{\triangle COD}=4S:6S = 2:3$，故④正确.

6.(2024广州,18,4分)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE = 3,EC = 6,CF = 2.
求证:△ABE∽△ECF.

答案： 证明
∵BE = 3，EC = 6，
∴BC = 9.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = CB = 9，∠B = ∠C = 90°，
∵$\frac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$.
∴△ABE∽△ECF.