《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例1　二次函数y = ax²+bx + c (a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x = -$\frac{1}{2}$，且与x轴的一个交点坐标为(-2,0).下列结论：①abc＞0；②a = b；③2a + c = 0；④关于x的一元二次方程ax²+bx + c - 1 = 0有两个相等的实数根.其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　
A.①③　B.②④　C.③④　D.②③
解题思路　结合抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点位置判断①、②，再根据抛物线与x轴交点坐标及对称轴判断③，最后根据抛物线与直线y = 1的位置关系判断④.

答案： D
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵x = - $\frac{b}{2a}$ = - $\frac{1}{2}$ ＜ 0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x = - $\frac{b}{2a}$ = - $\frac{1}{2}$，
∴a = b，故②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(-2,0)，对称轴为直线x = - $\frac{1}{2}$，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0)，即a + b + c = 0。
∵a = b，
∴2a + c = 0，故③正确；
ax² + bx + c - 1 = 0可变形为ax² + bx + c = 1，结合图象，可知直线y = 1与抛物线有两个交点，
∴ax² + bx + c - 1 = 0有两个不相等的实数根，故④不正确。
故正确的结论是②③。

例2　如图，抛物线y = ax²+bx + c的对称轴为直线x = 1，则下列结论中错误的是　
　　　　　　　　　　　　　　(　　　)　　　　　　　　
A.ac＜0　　　　　　B.$b^{2}-4ac＞0$
C.2a - b = 0　　　　D.a - b + c = 0
解题思路　由抛物线开口方向和与y轴交点位置、抛物线与x轴有两个交点即可判断选项A、B；已知抛物线对称轴为直线x = 1，可推出a,b的关系，从而判断选项C；令x = -1，求此时y的值即可判断选项D.

答案： C　由抛物线开口向下知a＜0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可得c＞0，则ac＜0，故A选项中结论正确；由抛物线与x轴有两个交点，可得b² - 4ac＞0，故B选项中结论正确；由抛物线的对称轴为直线x = - $\frac{b}{2a}$ = 1，得2a = -b，即2a + b = 0，故C选项中结论错误；由抛物线对称轴为直线x = 1及抛物线过点(3,0)，可得抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0)，所以a - b + c = 0，故D选项中结论正确。