《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例3 如图,边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O,以OC为半径的扇形的圆心角$\angle FOH = 90^{\circ}$.则图中阴影部分面积是 ________.

解题思路 证明$\triangle OBE\cong\triangle OCG$,推出$S_{\triangle OBE}=S_{\triangle OCG}$,进而得$S_{四边形OECG}=S_{\triangle OBC}$,再根据$S_{阴影}=S_{扇形OFH}-S_{四边形OECG}$求解即可.

答案： 答案　2π - 4
解析
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OA = OC = OB = OD,∠OBE = ∠OCG = 45°, $S_{\triangle OBC}=\frac{1}{4}S_{四边形ABCD}=4$,
∵∠BOC = ∠EOG = 90°,
∴∠BOE = ∠COG,
在△BOE和△COG中,
$\begin{cases}\angle BOE=\angle COG,\\OB = OC,\\\angle OBE=\angle OCG,\end{cases}$
∴△BOE≌△COG(ASA),
∴ $S_{\triangle OBE}=S_{\triangle OCG}$,
∴ $S_{四边形OECG}=S_{\triangle OBC}=4$,
∵△OBC是等腰直角三角形,BC = 4,
∴OB = OC = $2\sqrt{2}$,
∴ $S_{阴影}=S_{扇形OFH}-S_{四边形OECG}=\frac{90\pi\cdot(2\sqrt{2})^{2}}{360}-4 = 2\pi - 4$.

1.如图.将扇形AOB翻折,使点A与圆心O重合,展开后折痕所在直线l与$\overset{\frown}{AB}$交于点C,连接AC.若OA = 2,则图中阴影部分的面积是 ( )


A.$\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$
C.$\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\pi}{3}$

答案：
1.B　连接CO,设直线l与AO交于点D,如图所示，在扇形AOB中，OA = 2,
∴OC = OA = 2,
由折叠得AD = OD = 1,CD⊥AO,OC = AC,
∴OA = OC = AC = 2,
∴△OAC是等边三角形,
∴∠COD = 60°,则CD = $\sqrt{OC^{2}-OD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$,
∴阴影部分的面积为$\frac{60\pi\times2^{2}}{360}-\frac{2\times\sqrt{3}}{2}=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$.

2.如图,在3×3的方格纸中,每个小方格都是边长为1 cm的正方形,点A、B、O是格点,则图中扇形OAB中阴影部分的面积是 ____________.

答案：
答案　$(\frac{5\pi}{4}-\frac{5}{2})cm^{2}$
解析　如图,
∵∠ACO = 90°,
∴∠CAO + ∠AOC = 90°,
在△ACO和△ODB中,
$\begin{cases}AC = OD,\\\angle ACO=\angle ODB,\\CO = DB,\end{cases}$
∴△ACO≌△ODB(SAS),
∴∠CAO = ∠BOD,
∴∠BOD + ∠AOC = 90°,
∴∠AOB = 90°,由勾股定理得OA = OB = $\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}(cm)$,
∴扇形OAB中阴影部分的面积 = $\frac{90\pi\times(\sqrt{5})^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times\sqrt{5}\times\sqrt{5}=(\frac{5\pi}{4}-\frac{5}{2})cm^{2}$.

3.如图,等边三角形ABC内接于$\odot O,BC = 2\sqrt{3}$,则图中阴影部分的面积是 _________.

答案： 答案　$\frac{4\pi}{3}$
解析
∵△ABC为等边三角形,
∴ $S_{\triangle BOC}=S_{\triangle AOC}$,∠AOC = 120°,
在△OBC中,OB = OC,∠BOC = 120°,BC = $2\sqrt{3}$,易得OB = OC = 2,
∴ $S_{阴影}=S_{扇形AOC}=\frac{120\pi\times2^{2}}{360}=\frac{4\pi}{3}$.