《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例2　如图1,▱ABCD中,AD＞AB,∠ABC为锐角,要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案是 (　　)

A.甲、乙、丙
B.只有甲、乙
C.只有甲、丙
D.只有乙、丙
解题关键点　结合三角形全等的性质得边与边之间的关系,进而判定平行四边形.

答案： A　取BD中点O,作BN=NO,OM=MD,连接AC,则点O在AC 上,
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD,所以ON=OM,
∴四边形ANCM为平行四边形，甲方案正确;
作AN⊥BD于N,CM⊥BD于M,所以AN//CM,∠ANB=∠CMD=90°,
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD,AB=CD,
∴∠ABN=∠CDM,
∴△ABN≌△CDM,
∴AN=CM,又
∵AN//CM,
∴四边形ANCM为平行四边形，乙方案正确;作AN,CM分别平分∠BAD,∠BCD,
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD,AB//CD,AB=CD,
∴∠BAN=∠DCM,∠ABN=∠CDM,
∴△ABN≌△CDM,
∴AN=CM,∠ANB=∠CMD,
∴∠ANM=∠CMN,
∴AN//CM,
∴四边形ANCM为平行四边形，丙方案正确.

变式3　如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,AO = CO,∠BCA = ∠CAD.求证:四边形ABCD是平行四边形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明　在△AOD和△COB中,
$\begin{cases}\angle CAD = \angle BCA, \\AO = CO, \\\angle AOD = \angle COB,\end{cases}$
∴△AOD≌△COB(ASA),
∴OD=OB,
又
∵AO=CO,
∴四边形ABCD是平行四边形.

变式4　如图所示,点E在四边形ABCD的边AD上,连接CE,并延长CE交BA的延长线于点F,已知AE = DE,FE = CE.
(1)求证:△AEF≌△DEC;
(2)若AD//BC,求证:四边形ABCD为平行四边形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明　
(1)在△AEF和△DEC中,
$\begin{cases}AE = DE, \\\angle AEF = \angle DEC, \\FE = CE,\end{cases}$
∴△AEF≌△DEC(SAS).
(2)
∵△AEF≌△DEC,
∴∠AFE = ∠DCE,
∴AB//CD,
又
∵AD//BC,
∴四边形ABCD为平行四边形.