《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例1 如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E. 若AE = 5，则GE的长为______.

解题思路 由折叠性质可知CF⊥DG，易证△ADE≌△DCF，利用各边关系和勾股定理分别求出DE、GD的长，从而求出GE的长。

答案：
答案　$\frac{49}{13}$
解析　如图,设CF与DE交于点O.
　　　　
∵将△CDF沿CF折叠,点D落在点G处,
∴GO=DO,CF⊥DG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = CD,∠A = ∠ADC = 90° = ∠FOD.
∴∠CFD + ∠FCD = 90° = ∠CFD + ∠ADE.
∴∠ADE = ∠FCD.
在△ADE和△DCF中,
$\begin{cases}\angle A=\angle FDC, \\AD = CD, \\\angle ADE=\angle FCD,\end{cases}$
∴△ADE≌△DCF(ASA).
∴AE = DF = 5.
∵AE = 5,AD = 12,
∴DE = $\sqrt{AD^{2}+AE^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}} = 13$.
∵$\cos\angle ADE=\frac{AD}{DE}=\frac{DO}{DF}$,
∴$\frac{12}{13}=\frac{DO}{5}$.
∴$DO=\frac{60}{13}=GO$.
∴$EG=13 - 2\times\frac{60}{13}=\frac{49}{13}$.

例2 如图，在矩形ABCD中，AB = 15，BC = 20，把边AB沿对角线BD平移，点A'，B'分别对应点A，B. 给出下列结论：
①顺次连接点A'，B'，C，D的图形是平行四边形；
②点C到它关于直线AA'的对称点的距离为48；
③A'C - B'C的最大值为15；
④A'C + B'C的最小值为9√17.
其中正确结论的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解题思路 ①找特殊情况进行判断，例如点B'与点D重合；②作出点C关于直线AA'的对称点C'，连接CC'，可将CC'的长度转化为点C到BD距离的4倍求解；③将B'C转化到△A'DC内，由三角形两边之差小于第三边可知，点B'移动到点D时，A'C - B'C取得最大值；④设点C关于直线AA'的对称点C'，连接A'C'，由A'C' = A'C，B'C = A'D可知，C'，A'，D三点共线时A'C + B'C取得最小值，即C'D的长。

答案： C　特殊情况:当点B'移动到点D时,A'、B'、C、D四点共线,不是平行四边形，故①错误;
作点C关于直线AA'的对称点C',连接CC'交AA'于点T,交BD于点O,作AH⊥BD于点H,由平移的性质,得AA'//BD,
∴AH = TO,由矩形的对称性,得AH = OC,
∴TC = 2OC,
∴CC' = 4OC,
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD = 90°,CD = AB = 15,
∴BD = $\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}} = 25$,
∵$\frac{1}{2}\cdot BD\cdot CO=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD$,
∴$OC=\frac{20\times15}{25}=12$,
∴C'C = 48,故②正确;
∵A'D = B'C,
∴A'C - B'C≤CD,当点B'移动到点D时,A'C - B'C取得最大值，最大值为15,故③正确;
设点C关于直线AA'的对称点为C',连接A'C',则A'C' = CA',
∵A'D = B'C,
∴C'、A'、D三点共线时A'C + B'C取得最小值，最小值为C'D的长,由②可求OD = $\sqrt{CD^{2}-OC^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}} = 9$,OC' = 48 - 12 = 36,
∴C'D = $\sqrt{OD^{2}+OC'^{2}}=\sqrt{36^{2}+9^{2}} = 9\sqrt{17}$,故④正确.