《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

8.(2021 广东,9,3 分)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为 a,b,c,记 p = $\frac{a+b+c}{2}$,则其面积 S = $\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$,这个公式也被称为海伦 - 秦九韶公式.若 p = 5,c = 4,则此三角形面积的最大值为 (　　　)
A.$\sqrt{5}$　　
　B.4　　　
　C.2$\sqrt{5}$　
　D.5

答案： 8.C
∵p=5，c=4，p=$\frac{a+b+c}{2}$，
∴5=$\frac{a+b+4}{2}$，化简得b=6-a，
∴S=$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$=$\sqrt{5(5-a)(5-6+a)(5-4)}$=$\sqrt{-5(a-3)²+20}$，
∴当a=3时，S取最大值，为2$\sqrt{5}$.

9.(2021 广东,10,3 分)设 O 为坐标原点,点 A、B 为抛物线 y = x²上的两个动点,且 OA⊥OB.连接点 A、B,过 O 作 OC⊥AB 于点 C,则点 C 到 y 轴距离的最大值为 (　　　)
A.$\frac{1}{2}$　　　　　　　
　B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　
　D.1

答案：
9.A 如图，设A、B两点坐标分别为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，其中x₁≠0，x₂≠0.

∵点A、B在y=x²的图象上，
∴y₁=x₁²，y₂=x₂²，
∴A(x₁,x₁²)，B(x₂,x₂²).过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D.
∵∠AOB=90°，
∴∠1+∠2=90°.
∵BD⊥x轴，
∴∠ODB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3.
∵AE⊥x轴，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ODB，
∴△AEO∽△ODB，
∴$\frac{AE}{OD}$=$\frac{OE}{BD}$，即$\frac{x₁²}{x₂}$=-$\frac{x₁}{x₂²}$，
∴x₁x₂=-1.设AB所在直线的解析式为y=kx+b，将A(x₁,x₁²)，B(x₂,x₂²)代入y=kx+b中，得$\begin{cases}x₁²=kx₁+b\\x₂²=kx₂+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=x₁+x₂\\b=-x₁x₂\end{cases}$.
∴y=(x₁+x₂)x-x₁x₂.设直线AB与y轴交于点P，易求点P(0,-x₁x₂)，即P(0,1).
∵OC⊥AB，
∴∠OCP=90°，
∴点C在以OP为直径的圆上，
∴点C到OP距离的最大值为以OP为直径的圆的半径，即$\frac{1}{2}$.

10.(2020 广州,16,3 分)对某条线段的长度进行了 3 次测量,得到 3 个结果(单位:mm)9.9,10.1,10.0,若用 a 作为这条线段长度的近似值,当 a = ______mm 时,(a - 9.9)²+(a - 10.1)²+(a - 10.0)²最小.对另一条线段的长度进行了 n 次测量,得到 n 个结果(单位:mm)x₁,x₂,⋯,xₙ,若用 x 作为这条线段长度的近似值,当 x = __________mm 时,(x - x₁)²+(x - x₂)²+⋯+(x - xₙ)²最小.

答案： 答案 10.0；$\frac{x₁+x₂+…+xₙ}{n}$
解析 令y=(a-9.9)²+(a-10.1)²+(a-10.0)²，则y=3a²-60a+9.9²+10.0²+10.1²，是关于a的二次函数，
∴当a=-$\frac{-60}{2×3}$=10.0时，y值最小.同理可知，当x=$\frac{x₁+x₂+…+xₙ}{n}$时，(x-x₁)²+(x-x₂)²+…+(x-xₙ)²最小.

11.(2024 广东,20,9 分)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023 年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨 2 万元的价格收购早熟荔枝,销往国外.若按每吨 5 万元出售,平均每天可售出 100 吨.市场调查反映:如果每吨降价 1 万元,每天销售量相应增加 50 吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.(题中“元”为人民币)

答案： 解析 设该果商定价为每吨x万元时，每天的利润为w万元，销售收入为t万元，则w=(x-2)[100+50(5-x)]=-50(x-4.5)²+312.5，t=x[100+50(5-x)]=-50(x-3.5)²+612.5，
∵-50＜0，
∴当x=4.5时，w取最大值，最大值为312.5，当x=3.5时，t取最大值，最大值为612.5.答：该果商定价为每吨4.5万元或3.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值分别为312.5万元，612.5万元.

12.(2021 广东,22,8 分)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜 10 元,某商家用 8 000 元购进的猪肉粽和用 6 000 元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价 50 元时,每天可售出 100 盒;每盒售价提高 1 元时,每天少售出 2 盒.
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;
(2)设猪肉粽每盒售价 x(50≤x≤65)元,y 表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位:元),求 y 关于 x 的函数解析式并求最大利润.

答案： 解析
(1)设豆沙粽每盒的进价为a元，则猪肉粽每盒的进价为(a+10)元，依题意得$\frac{6000}{a}$=$\frac{8000}{a+10}$，解得a=30.经检验，a=30是原方程的解，且符合题意.
∴a+10=40.答：豆沙粽每盒的进价为30元，猪肉粽每盒的进价为40元.
(2)依题意，得y=(x-40)[100-2(x-50)]=-2x²+280x-8000=-2(x-70)²+1800.
∵-2＜0，
∴当x＜70时，y随x的增大而增大.
∵50≤x≤65，
∴当x=65时，y取最大值，为1750.
∴y关于x的函数解析式为y=-2x²+280x-8000(50≤x≤65).当猪肉粽每盒的售价为65元时，有最大利润，最大利润为1750元.