《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

11.(2020广州,21,12分)如图,平面直角坐标系xOy中,▱OABC的边OC在x轴上,对角线AC,OB交于点M,函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象经过点A(3,4)和点M.
(1)求k的值和点M的坐标;
(2)求▱OABC的周长.
　　　　　　　　

答案： 解析
(1)将A(3,4)代入y = $\frac{k}{x}$(x＞0)中,得k = 12.设点C(a,0),
∵点M为AC的中点,
∴M($\frac{a + 3}{2}$,2).
将点M的坐标代入y = $\frac{12}{x}$中,
得$\frac{12}{\frac{a + 3}{2}}$ = 2,
∴a = 9,
∴M(6,2).
(2)
∵四边形OABC是平行四边形,
∴AB = OC,OA = BC.
由
(1)知C(9,0),
∴OC = 9,
∵A(3,4),
∴OA = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5,
∴C▱OABC = (9 + 5)×2 = 28.

12.(2020广东,24,10分)如图,点B是反比例函数y = $\frac{8}{x}$(x＞0)图象上一点,过点B分别向坐标轴作垂线,垂足为A,C.反比例函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象经过OB的中点M,与AB,BC分别相交于点D,E.连接DE并延长交x轴于点F,点G与点O关于点C对称,连接BF,BG.
(1)填空:k = ____;
(2)求△BDF的面积;
(3)求证:四边形BDFG为平行四边形.
　　　　　　　　

答案： 解析
(1)2.
详解:
∵点B在反比例函数y = $\frac{8}{x}$(x＞0)的图象上,
∴可设点B的坐标为(m,$\frac{8}{m}$),
∴OB的中点M的坐标为($\frac{m}{2}$,$\frac{4}{m}$).
∵点M在反比例函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象上,
∴k = $\frac{m}{2}$·$\frac{4}{m}$ = 2.
(2)
∵AB//OC,B(m,$\frac{8}{m}$),
∴D($\frac{m}{4}$,$\frac{8}{m}$),
∴BD = m - $\frac{m}{4}$ = $\frac{3}{4}$m.
∴S△BDF = $\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$m×$\frac{8}{m}$ = 3.
(3)证明:由
(2)知B(m,$\frac{8}{m}$),D($\frac{m}{4}$,$\frac{8}{m}$),
则A(0,$\frac{8}{m}$),E(m,$\frac{2}{m}$),C(m,0).
∴BE = $\frac{8}{m}$ - $\frac{2}{m}$ = $\frac{6}{m}$,CE = $\frac{2}{m}$.
∵CF//BD,
∴△ECF∽△EBD,
∴$\frac{CF}{BD}$ = $\frac{CE}{BE}$,
∴CF = $\frac{m}{4}$.
∵点G与点O关于点C对称,
∴CG = OC = AB = m,
∴FG = CG - CF = m - $\frac{m}{4}$ = $\frac{3}{4}$m,
∴BD = FG.
又
∵BD//FG,
∴四边形BDFG是平行四边形.