《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

1. (2023 广东,9,3 分)如图,AB 是⊙O 的直径,∠BAC = 50°,则∠D =　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　
　

A. 20°　　
　B. 40°　
　C. 50°　
　D. 80°

答案： B
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB =90°,
∴∠BAC+∠ABC =90°,
∵∠BAC =50°,
∴∠ABC =90° - 50° =40°,
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$,
∴∠D =∠ABC =40°.

2. (2021 广东,7,3 分)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 为圆上一点,AC = 3,∠ABC 的平分线交
AC 于点 D,CD = 1,则⊙O 的直径为　　(　　　)
　　　　　　
　

A. $\sqrt{3}$　　
　B. 2$\sqrt{3}$　
　C. 1　　
　D. 2

答案： B 过点D作DE⊥AB于点E.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠C =90°,
∴DC⊥CB.又
∵BD平分∠ABC,
∴DE =DC =1.
∵AC =3,
∴AD =AC - CD =3 - 1 =2.
在Rt△ADE中,AE =$\sqrt{AD^{2}-DE^{2}}$=$\sqrt{2^{2}-1^{2}}$=$\sqrt{3}$. 在Rt△DEB和
Rt△DCB中,$\begin{cases}DB = DB,\\DE = DC,\end{cases}$
∴Rt△DEB≌Rt△DCB,
∴BE =BC.
设BE =BC =x,则AB =AE +EB =$\sqrt{3}$+x.在Rt△ACB中,由勾股定理得
AC² +BC² =AB²,即3² +x² =(x +$\sqrt{3}$)²,解得x =$\sqrt{3}$,
∴AB =$\sqrt{3}$+x =2$\sqrt{3}$,
∴⊙O的直径为2$\sqrt{3}$.

3. (2021 广东,17,4 分)在△ABC 中，∠ABC = 90°,AB = 2,BC = 3.点 D 为平面上一个动点,∠ADB = 45°,则线段 CD 长度的最小值为________.

答案：
答案 $\sqrt{5}-\sqrt{2}$
解析 如图,作△ABD的外接圆⊙O,连接OA,OB,OC,OC与⊙O交于点D'.

CD'的长度即为CD长度的最小值.
∵∠ADB =45°,
∴∠AOB =90°.
易得OA =OB =OD' =$\sqrt{2}$.
过点O作OH⊥BC于点H,易得
BH =OH =1,
∴CH =BC - BH =3 - 1 =2.
在Rt△OHC中,OC =$\sqrt{OH^{2}+HC^{2}}$=$\sqrt{1^{2}+2^{2}}$=$\sqrt{5}$,
∴CD' =OC - OD' =$\sqrt{5}-\sqrt{2}$,
∴CD长度的最小值为$\sqrt{5}-\sqrt{2}$.

4. (2021 广州,16,3 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 是边 BC 上一点,且 BE = 3.以点 A 为圆心,3 为半径的圆分别交 AB,AD 于点 F,G,DF 与 AE 交于点 H,并与⊙A 交于点 K.连接 HG,CH.给出下列四个结论:
　①H 是 FK 的中点;
　②△HGD≌△HEC;
 ③S△AHG : S△DHC = 9 : 16;
　④DK = $\frac{7}{5}$.
　其中正确的结论有________.(填写所有正确结论的序号)
　　　　　　

答案：
答案 ①③④
解析 易证△ADF≌△BAE.
∴∠1 =∠2.
∴AH⊥FD.
又
∵点A为圆心,
∴FH =HK =$\frac{1}{2}$FK.
∴①正确.
过点H作HM⊥AD于M,HN⊥DC于N.

易证△AHF∽△ABE,
∴$\frac{AH}{AF}=\frac{AB}{AE}$.
∵AE =$\sqrt{BE^{2}+AB^{2}}$=5,
∴AH =$\frac{12}{5}$.
∵△HMA∽△ABE,
∴$\frac{HM}{MA}=\frac{AB}{BE}$.
∴HM =$\frac{48}{25}$,MA =$\frac{36}{25}$.
∴MG =3 - AM =$\frac{39}{25}$.
∴GH =$\sqrt{MG^{2}+HM^{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{5}$.
而EH =AE - AH =5 - $\frac{12}{5}$=$\frac{13}{5}$≠GH.
∴②不正确.
HN =MD =4 - AM =4 - $\frac{36}{25}$=$\frac{64}{25}$.
∴$\frac{S_{\triangle AHG}}{S_{\triangle DHC}}=\frac{\frac{1}{2}\times3\times\frac{48}{25}}{\frac{1}{2}\times4\times\frac{64}{25}}=\frac{9}{16}$.
∴③正确.
DK =5 - FK =5 - 2KH =5 - 2×$\frac{12}{5}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{7}{5}$.
∴④正确.

5. (2022 广东,22,12 分)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC 为⊙O 的直径,∠ADB = ∠CDB.
　(1)试判断△ABC 的形状,并给出证明;
　(2)若 AB = $\sqrt{2}$,AD = 1,求 CD 的长度.
　　　　　　　　　　　　

答案： 解析
(1)△ABC是等腰直角三角形,证明如下:
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC =∠ABC =90°.
∵∠ADB =∠CDB,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,
∴AB =BC.又
∵∠ABC =90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)在Rt△ABC中,AB =BC =$\sqrt{2}$,
∴AC =2.
在Rt△ADC中,AD =1,AC =2,
∴CD =$\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}$=$\sqrt{3}$.