《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例1 如图,把一张矩形纸片沿对角线折叠,若BC = 9,CD = 3,那么阴影部分的面积为______.
解题关键点 利用翻折性质和矩形性质得△FBD为等腰三角形.

答案： 答案　$\frac{15}{2}$
解析　根据翻折的性质可知，$\angle FBD=\angle DBC$，又$\because AD// BC$，$\therefore \angle ADB=\angle DBC$，$\therefore \angle ADB=\angle FBD$，$\therefore BF = DF$。设$BF = DF = x$，则$AF = 9 - x$，$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore \angle A = 90^{\circ}$，$\therefore AF^{2}+AB^{2}=BF^{2}$，即$(9 - x)^{2}+3^{2}=x^{2}$，解得$x = 5$，$\therefore S_{\triangle FDB}=\frac{1}{2}\times5\times3=\frac{15}{2}$。

例2 如图,长方形ABCD中,点E在边AB上,将一边AD折叠,使点A恰好落在边BC的点F处,折痕为DE.若AB = 4,BF = 2,则AE的长是______.
解题思路 设AE = x,则BE = 4 - x,根据翻折变换的性质可得EF = AE,然后利用勾股定理列出方程求解即可.

答案： 答案　2.5
解析　设$AE = x$，则$BE = 4 - x$，$\because$折叠后点$A$恰好落在边$BC$的点$F$处，$\therefore EF = AE = x$，在$Rt\triangle BEF$中，由勾股定理得，$BE^{2}+BF^{2}=EF^{2}$，即$(4 - x)^{2}+2^{2}=x^{2}$，解得$x = 2.5$，即$AE$的长为2.5。

例3 如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.
(1)求证:△PDE≌△CDF；
(2)若CD = 4,sin∠DFE = $\frac{4}{5}$,求BC的长.
解题思路 (1)利用折叠性质得∠PDF = ∠ADC,减去公共部分,得∠PDE = ∠CDF是解题的关键；
(2)利用折叠性质和矩形性质得边之间的等量关系,进而通过勾股定理列方程解决问题.

答案：
解析　
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore \angle A=\angle ADC=\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，$AB = CD$，由折叠得$AB = PD$，$\angle A=\angle P = 90^{\circ}$，$\angle B=\angle PDF = 90^{\circ}$，$\therefore PD = CD$，$\because \angle PDF=\angle ADC$，$\therefore \angle PDE=\angle CDF$，在$\triangle PDE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle P=\angle C,\\PD = CD,\\\angle PDE=\angle CDF,\end{cases}$ $\therefore \triangle PDE\cong\triangle CDF(ASA)$。
(2)如图，过点$E$作$EG\perp BC$于$G$，

$\therefore \angle EGF = 90^{\circ}$，$EG = CD = 4$，$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AD// BC$，$\therefore \angle EFG=\angle DEF=\angle DFE$，$\therefore DE = DF$，$\sin\angle EFG=\frac{EG}{EF}=\frac{4}{5}$，$\therefore EF = 5$。在$Rt\triangle EGF$中，由勾股定理得，$FG=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$。设$CF = x$，则$DE = DF = x + 3$，由
(1)知$PE = AE = BG = x$，在$Rt\triangle CDF$中，由勾股定理得$DF^{2}=CD^{2}+CF^{2}$，$\therefore (x + 3)^{2}=4^{2}+x^{2}$，$\therefore x=\frac{7}{6}$，$\therefore BC = 2x + 3=\frac{7}{3}+3=\frac{16}{3}$。