《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

变式4 关于$x$的方程$x^2 - (k + 2)x + 2k = 0$.
(1) 求证：无论$k$取何实数，方程总有实数根；
(2) 若等腰三角形$ABC$的一边长$a = 1$，另两边长$b$，$c$恰好是这个方程的两个根，求$\triangle ABC$的周长.

答案： 解析
(1)证明:$\Delta=[-(k + 2)]^2-4\times1\times2k=(k - 2)^2$，$\because(k - 2)^2\geq0$，即$\Delta\geq0$，$\therefore$无论$k$取何实数值，方程总有实数根.
(2)当$b = c$时，$\Delta=(k - 2)^2 = 0$，则$k = 2$，此时原方程为$x^2-4x + 4 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 2$，$\therefore\triangle ABC$的周长$=2 + 2+1 = 5$；当$b = a = 1$或$c = a = 1$时，把$x = 1$代入方程得$1-(k + 2)+2k = 0$，解得$k = 1$，此时原方程为$x^2-3x + 2 = 0$，解得$x_1 = 1,x_2 = 2$，不符合三角形三边关系，此情况舍去.综上，$\triangle ABC$的周长为5.

例4 2021 年是中国共产党建党 100 周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地. 据了解，2021 年 3 月份该基地接待参观人数 10 万人，5 月份接待参观人数增加到 12.1 万人.
(1) 求这两个月参观人数的月平均增长率；
(2) 按照这个增长率，预计 6 月份的参观人数是多少?
解题思路 (1) 设这两个月参观人数的月平均增长率为$x$，根据 3 月份该基地接待参观人数×$(1 +$月平均增长率$)^2 = 5$月份接待参观人数，列出方程，求解并检验即可；
(2) 利用 6 月份接待参观人数 = 5 月份接待参观人数×$(1 +$月平均增长率$)$进行计算即可.

答案： 解析
(1)设这两个月参观人数的月平均增长率为$x$，由题意得$10(1 + x)^2 = 12.1$，解得$x_1 = 0.1 = 10\%,x_2=-2.1$(不符合题意，舍去).答:这两个月参观人数的月平均增长率为10%.
(2)$12.1\times(1 + 10\%) = 13.31$(万人).答:预计6月份的参观人数为13.31万人.

变式5 如图，在一块长 15 m，宽 10 m 的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为 126 m²，则修建道路的宽应为________m.

答案： 答案 1 解析 设道路的宽为$x$m，根据题意得$(10 - x)(15 - x)=126$，解得$x_1 = 1,x_2 = 24$(不符合题意，舍去)，则修建道路的宽应为1 m.