《2025年5年中考3年模拟数学广东专版》

例1　若$x = \sqrt{2} + 1$，则代数式$x^{2} - 2x + 2$的值为 (　　)
A.7　　　　B.4　　　C.3　　　D.$3 - 2\sqrt{2}$
解题思路　结合完全平方公式，观察代数式$x^{2}-2x + 2$可变形为$(x - 1)^{2}+1$，代入$x$的值求解即可.

答案： 例1　C
∵x=$\sqrt{2}$+1,
∴x²−2x+2=(x−1)²+1=($\sqrt{2}$+1−1)²+1=2+1=3.

变式1　已知$m + 2n = 1$，则代数式$3m + 6n + 5$的值为______.

答案： 答案　8
解析
∵m+2n=1,
∴3m+6n+5=3(m+2n)+5=3×1+5=8.

变式2　已知$3x^{2}-2x - 3 = 0$，求$(x - 1)^{2}+x(x+\frac{2}{3})$的值.

答案： 解析 原式=x²−2x + 1 + x² + $\frac{2}{3}$x = 2x² - $\frac{4}{3}$x + 1.
∵3x²−2x−3=0,
∴x² - $\frac{2}{3}$x = 1.
∴原式=2(x² - $\frac{2}{3}$x)+1 = 2×1 + 1 = 3.

变式3　先化简，再求值:$(x + y)(x - y)+(xy^{2}-2xy)\div x$，其中$x = 1$，$y=\frac{1}{2}$.

答案： 解析 原式=x²−y² + y²−2y = x²−2y,
将x = 1,y = $\frac{1}{2}$代入上式得,
原式=1²−2×$\frac{1}{2}$ = 0.

例2　若$x+\frac{1}{x}=2$，则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=$______.
解题思路　把$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$化为$(x+\frac{1}{x})^{2}-2\cdot x\cdot\frac{1}{x}$进行计算.

答案： 答案　2
解析 原式=x² + $\frac{1}{x²}$ + 2 - 2 = (x + $\frac{1}{x}$)² - 2 = 2² - 2 = 2.

变式4　(1)若$x-\frac{1}{x}=1$，则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=$______;

答案： 答案　
(1)3　
解析　
(1)原式=x² + $\frac{1}{x²}$ - 2 + 2 = (x - $\frac{1}{x}$)² + 2 = 1² + 2 = 3.

(2)若$x-\frac{1}{x}=-1$，则$x+\frac{1}{x}=$______.

答案： 答案　
(2)±$\sqrt{5}$
解析　
(2)因为x - $\frac{1}{x}$ = -1,所以(x - $\frac{1}{x}$)² = x² + $\frac{1}{x²}$ - 2 = 1,即x² + $\frac{1}{x²}$ = 3,
所以(x + $\frac{1}{x}$)² = x² + $\frac{1}{x²}$ + 2 = 5,
则x + $\frac{1}{x}$ = ±$\sqrt{5}$.

例3　因式分解:$4a^{2}b - 4ab + b=$______.
解题思路　先提取公因式$b$，余下的式子用公式法继续分解.

答案： 答案　b(2a - 1)²
解析　原式=b(4a² - 4a + 1)=b(2a - 1)².

变式5　因式分解:$x^{3}y - 4xy=$______.

答案： 答案　xy(x + 2)(x - 2)
解析　x³y - 4xy = xy(x² - 4)=xy(x + 2)(x - 2).