《2024年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

例 1 化简下列各式：
(1) $ 3a^{2}b - 2ab^{2} - (\frac{1}{4}a^{2}b - ab^{2} - 0.25a^{2}b) + 5a^{2}b $；
(2) $ 7x^{3}y - [5x^{3}y - (3xy^{2} - 8x^{2}y)] + 8x^{2}y $；
(3) $ -5[(a^{2} + 1) - \frac{1}{5}(3a^{2} - 2a) + \frac{1}{5}(a - 3)] $.
【解析】根据去括号的法则和合并同类项的法则进行计算.
解：(1) $ 3a^{2}b - 2ab^{2} - (\frac{1}{4}a^{2}b - ab^{2} - 0.25a^{2}b) + 5a^{2}b $
$ = 8a^{2}b - 2ab^{2} - (-ab^{2}) $
……局部合并，再去括号
$ = 8a^{2}b - 2ab^{2} + ab^{2} = 8a^{2}b - ab^{2} $.
(2) $ 7x^{3}y - [5x^{3}y - (3xy^{2} - 8x^{2}y)] + 8x^{2}y $
$ = 7x^{3}y - 5x^{3}y + (3xy^{2} - 8x^{2}y) + 8x^{2}y $
……由外向里，巧去括号
$ = 7x^{3}y - 5x^{3}y + 3xy^{2} - 8x^{2}y + 8x^{2}y $
$ = 2x^{3}y + 3xy^{2} $.
(3) $ -5[(a^{2} + 1) - \frac{1}{5}(3a^{2} - 2a) + \frac{1}{5}(a - 3)] $
$ = -5(a^{2} + 1) + (3a^{2} - 2a) - (a - 3) $
……巧分妙配，括号全退
$ = -5a^{2} - 5 + 3a^{2} - 2a - a + 3 $
$ = -2a^{2} - 3a - 2 $.

答案：

例 2 已知关于 $ x $，$ y $ 的多项式 $ (2x^{2} + mx - \frac{1}{2}y + 3) - (3x - 2y + 1 - nx^{2}) $ 的值与字母 $ x $ 的取值无关，求多项式 $ (m + 2n) - (2m - n) $ 的值.
【解析】因为关于 $ x $，$ y $ 的多项式的值与字母 $ x $ 的取值无关，所以整个多项式化简后没有含字母 $ x $ 的项，即含有字母 $ x $ 的项合并后系数为 $ 0 $，据此可求出 $ m $，$ n $ 的值.
解：$ (2x^{2} + mx - \frac{1}{2}y + 3) - (3x - 2y + 1 - nx^{2}) $
$ = 2x^{2} + mx - \frac{1}{2}y + 3 - 3x + 2y - 1 + nx^{2} $
$ = (2 + n)x^{2} + (m - 3)x + \frac{3}{2}y + 2 $.
因为该多项式的值与 $ x $ 的取值无关，所以 $ 2 + n = 0 $，$ m - 3 = 0 $，所以 $ n = -2 $，$ m = 3 $.
当 $ n = -2 $，$ m = 3 $ 时，$ (m + 2n) - (2m - n) = m + 2n - 2m + n = -m + 3n = -3 + 3×(-2) = -9 $.

答案：

例 3 (1)已知 $ xy = -2 $，$ x + y = 3 $，求整式 $ (3xy + 10y) + [5x - (2xy + 2y - 3x)] $ 的值；
(2)已知 $ a^{2} + ab = 4 $，$ ab + b^{2} = -1 $，求 $ a^{2} - b^{2} $ 及 $ a^{2} + 3ab + 2b^{2} $ 的值.
【解析】先将待求式进行化简或变形，变成含有已知式的形式，再将已知式整体代入求值.
解：(1)原式 $ = 3xy + 10y + (5x - 2xy - 2y + 3x) $
$ = 3xy + 10y + 5x - 2xy - 2y + 3x $
$ = 5x + 3x + 10y - 2y + 3xy - 2xy $
$ = 8x + 8y + xy $
$ = 8(x + y) + xy $.
把 $ xy = -2 $，$ x + y = 3 $ 代入得，
原式 $ = 8×3 + (-2) = 24 - 2 = 22 $.
(2) $ \because a^{2} - b^{2} = a^{2} + ab - ab - b^{2} $
$ = (a^{2} + ab) - (ab + b^{2}) $，
$ \therefore a^{2} - b^{2} = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 $.
$ \because a^{2} + 3ab + 2b^{2} = a^{2} + ab + 2ab + 2b^{2} $
$ = (a^{2} + ab) + 2(ab + b^{2}) $，
$ \therefore a^{2} + 3ab + 2b^{2} = 4 + 2×(-1) = 4 - 2 = 2 $.

答案：