《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题. 如图，设 $a$，$b$，$c$ 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点 $O$，对于任意一个空间向量 $p = \overrightarrow{OP}$，$p$ 能否用 $a$，$b$，$c$ 表示呢？

答案：
问题.如图所示,设$\overrightarrow{OQ}$为$\overrightarrow{OP}$在$a,b$所确定的平面上的投影向量,则$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QP}$.又向量$\overrightarrow{QP},c$共线,因此存在唯一的实数$z$,使得$\overrightarrow{QP}=z\overrightarrow{c}$,从而$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+z\overrightarrow{c}$.在$a,b$确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对$(x,y)$,使得$\overrightarrow{OQ}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$.从而$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+z\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}$.

1. 空间向量基本定理
(1) 条件：如果向量 $a$，$b$，$c$ 是空间三个不共面的向量，$p$ 是空间任意一个向量.
(2) 结论：存在唯一的三元有序实数组 $(x,y,z)$，使得 $p = xa + yb + zc$.

答案： 1.
(2)唯一

2. 基
(1) 条件：三个向量 $a$，$b$，$c$不共面.
(2) 结论：$\{a,b,c\}$叫作空间向量的一组基. 其中 $a$，$b$，$c$ 都叫作基向量.
[微提醒] (1) 空间任意三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基. 基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同. (2) 一组基是一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
(3) 由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.

答案： 2.
(1)不共面
(2)$\{a,b,c\}$基向量

典例 1
若 $\{a,b,c\}$ 是空间向量的一组基，试判断 $\{a + b,b + c,c + a\}$ 能否作为空间向量的一组基.

答案： 典例1 解：假设$a+b,b+c,c+a$共面,则存在实数$\lambda,\mu$,使得$a+b=\lambda(b+c)+\mu(c+a)$,即$a+b=\mu a+\lambda b+(\lambda+\mu)c$.
因为$\{a,b,c\}$是空间向量的一组基,所以$a,b,c$不共面,
所以$\begin{cases}1=\mu,\\1=\lambda,\\0=\lambda+\mu.\end{cases}$方程组无解.
即不存在实数$\lambda,\mu$,使得$a+b=\lambda(b+c)+\mu(c+a)$,
所以$a+b,b+c,c+a$不共面.
故$\{a+b,b+c,c+a\}$能作为空间向量的一组基.

$\{e_1,e_2,e_3\}$ 是空间向量的一组基，且 $\overrightarrow{OA} = e_1 + 2e_2 - e_3$，$\overrightarrow{OB} = - 3e_1 + e_2 + 2e_3$，$\overrightarrow{OC} = e_1 + e_2 - e_3$，试判断 $\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}$ 能否作为空间向量的一组基.

答案： 对点练1. 解：假设$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$共面,由向量共面的充要条件知,存在实数$x,y$,使$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$成立,
所以$e_1+2e_2-e_3=x(-3e_1+e_2+2e_3)+y(e_1+e_2-e_3)$,
即$e_1+2e_2-e_3=(y-3x)e_1+(x+y)e_2+(2x-y)e_3$.
因为$\{e_1,e_2,e_3\}$是空间向量的一组基,所以$e_1,e_2,e_3$不共面,
所以$\begin{cases}y-3x=1,\\x+y=2,\\2x-y=-1.\end{cases}$此方程组无解.
即不存在实数$x,y$,使得$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$,所以$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$不共面.
所以$\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}$能作为空间向量的一组基.