《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

对点练 4. 已知点 $ P_1 $，$ P_2 $ 的坐标分别为 $ (3,1,-1) $，$ (2,-2,-3) $，分别在 $ x $，$ y $，$ z $ 轴上取点 $ A $，$ B $，$ C $，使它们与 $ P_1 $，$ P_2 $ 两点的距离相等，求 $ A $，$ B $，$ C $ 的坐标.

答案： 对点练4.解：设$A(x,0,0)$，$B(0,y,0)$，$C(0,0,z)$，由$|AP_1| = |AP_2|$，得$\sqrt{(x - 3)^{2}+1 + 1}=\sqrt{(x - 2)^{2}+4 + 9}$，所以$x = -3$，同理，由$|BP_1| = |BP_2|$，得$y = -1$，由$|CP_1| = |CP_2|$，得$z = -\frac{3}{2}$，所以$A(-3,0,0)$，$B(0,-1,0)$，$C\left(0,0,-\frac{3}{2}\right)$。

典例 5 求与平面 $ x + 2y + 2z + 3 = 0 $ 相切于点 $ M(1,1,-3) $，且半径为 3 的球面方程.

答案： 典例5 解：球心所在直线经过点$M(1,1,-3)$，且直线方向向量 = 平面法向量 = $(1,2,2)$，所以，设球心坐标为$C(1 + t,1 + 2t,-3 + 2t)$，所以$r = |CM|=\sqrt{t^{2}+(2t)^{2}+(2t)^{2}}=3|t| = 3$，所以$t = \pm1$。
球心$C(2,3,-1)$的球面方程为$(x - 2)^{2}+(y - 3)^{2}+(z + 1)^{2}=9$，球心$C(0,-1,-5)$的球面方程为$x^{2}+(y + 1)^{2}+(z + 5)^{2}=9$。

1. 在空间直角坐标系中，点 $ P(-1,-2,-3) $ 到平面 $ yOz $ 的距离是（A）
A.1
B.2
C.3
D.$ \sqrt{14} $

答案： 1.A

2. 已知点 $ A(x,1,2) $ 和点 $ B(2,3,4) $，且 $ |AB| = 2\sqrt{6} $，则实数 $ x $ 的值是（C）
A.-2
B.6
C.-2 或 6
D.4

答案： 2.C

3. 在正四棱柱 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $(底面为正方形的直棱柱)中，$ |AA_1| = 2|AB| = 4 $，点 $ E $ 在 $ CC_1 $ 上且 $ |C_1E| = 3|EC| $. 建立如图所示的空间直角坐标系，则点 $ B $，$ C $，$ E $，$ A_1 $ 的坐标分别为$(2,2,0),(0,2,0),(0,2,1),(2,0,4)$.

答案： 3.$(2,2,0),(0,2,0),(0,2,1),(2,0,4)$

4. (双空题)点 $ P(1,1,1) $ 关于 $ xOy $ 平面的对称点 $ P_1 $ 的坐标为$(1,1,-1)$，点 $ P $ 关于 $ z $ 轴的对称点 $ P_2 $ 的坐标为$(-1,-1,1)$.

答案： 4.$(1,1,-1)$ $(-1,-1,1)$