《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

已知抛物线 $ y^2 = 4x $，其焦点为 $ F $.
(1) 若点 $ M(1,1) $，求以 $ M $ 为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2) 若互相垂直的直线 $ m $，$ n $ 都经过抛物线 $ y^2 = 4x $ 的焦点 $ F $，且与抛物线相交于 $ A $，$ B $ 两点和 $ C $，$ D $ 两点，求四边形 $ ACBD $ 面积的最小值.

答案： 对点练3. 解：
(1)因为点 $M$ 在抛物线 $y^2 = 4x$ 含焦点 $F$ 的区域内，
所以中点弦所在的直线存在.
设所求直线交抛物线于 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，
则 $y_1^2 = 4x_1,y_2^2 = 4x_2,y_1 + y_2 = 2$，
$k_{PQ}=\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}=\frac{4}{y_1 + y_2}=2(x_1\neq x_2)$，
所以所求直线方程为 $2x - y - 1 = 0$.
(2)依题意知，直线 $m,n$ 的斜率存在，设直线 $m$ 的方程为 $y = k(x - 1)$，
得 $\begin{cases}y = k(x - 1),\\y^2 = 4x,\end{cases}$
消去 $y$，化简、整理得 $k^2x^2-(2k^2 + 4)x + k^2 = 0,\Delta＞0$，
设其两根为 $x_3,x_4$，则 $x_3 + x_4=\frac{4}{k^2}+2$.
由抛物线的定义可知，$|AB| = 2 + x_3 + x_4=\frac{4}{k^2}+4$，
同理 $|CD| = 4k^2 + 4$，
所以四边形 $ACBD$ 的面积 $S=\frac{1}{2}(4k^2 + 4)·(\frac{4}{k^2}+4)=8(2 + k^2 +$
$\frac{1}{k^2})\geq32$，
当且仅当 $k=\pm1$ 时取等号，故四边形 $ACBD$ 面积的最小值为 $32$.

1. 若直线 $ y = 2(x - 1) $ 与椭圆 $ \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1 $ 交于 $ A $，$ B $ 两点，则 $ |AB| = $ (D)
A.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
B.$ \frac{\sqrt{5}}{3} $
C.$ \frac{5}{3} $
D.$ \frac{5\sqrt{5}}{3} $

答案： 1.D

2. 若直线 $ 2x - y - 4 = 0 $ 与抛物线 $ y^2 = 6x $ 交于 $ A $，$ B $ 两点，则线段 $ AB $ 的长度为 (B)
A.$ \frac{\sqrt{265}}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{285}}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{305}}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{335}}{2} $

答案： 2.B

3. 过椭圆 $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 $ 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为4,3.

答案： 3.4,3

4. 过点 $ M(2,1) $ 作斜率为 1 的直线，交双曲线 $ \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0) $ 于 $ A $，$ B $ 两点，点 $ M $ 为 $ AB $ 的中点，则该双曲线的离心率为$\sqrt{3}$.

答案： 4.$\sqrt{3}$