《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 4 已知 $ x $ 和 $ y $ 满足 $ (x + 1)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4} $，试求 $ x^{2}+y^{2} $ 的最值。

答案： 由$(x + 1)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}$知，该方程表示圆心为$C(-1,0)$，半径$r = \frac{1}{2}$的圆。
$x^{2}+y^{2}$表示圆上点$(x,y)$到原点$O(0,0)$距离的平方。
1. 求圆心到原点距离：
圆心$C(-1,0)$到原点$O(0,0)$的距离$|OC|=\sqrt{(-1-0)^{2}+(0-0)^{2}}=1$。
2. 求圆上点到原点距离的最值：
圆上点到原点的最大距离为$|OC| + r=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，最小距离为$|OC| - r=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
3. 求$x^{2}+y^{2}$的最值：
$x^{2}+y^{2}$的最大值为$(\frac{3}{2})^{2}=\frac{9}{4}$，最小值为$(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$。
结论：$x^{2}+y^{2}$的最大值为$\frac{9}{4}$，最小值为$\frac{1}{4}$。

对点练 3. 已知 $ x $ 和 $ y $ 满足 $ (x + 1)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4} $，试求 $ \frac{|x + 2y - 6|}{\sqrt{5}} $ 的最值。

答案： 圆心坐标为$(-1,0)$，半径$r = \frac{1}{2}$。
表达式$\frac{|x + 2y - 6|}{\sqrt{5}}$表示圆$(x + 1)^2 + y^2 = \frac{1}{4}$上的点$(x,y)$到直线$l: x + 2y - 6 = 0$的距离。
计算圆心$(-1,0)$到直线$l$的距离$d$：
$d = \frac{|(-1) + 2 × 0 - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{7}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5}$
因为$d ＞ r$，所以圆上点到直线$l$的距离最大值为$d + r$，最小值为$d - r$。
最大值：
$\frac{7\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}$
最小值：
$\frac{7\sqrt{5}}{5} - \frac{1}{2}$
结论：最大值为$\frac{7\sqrt{5}}{5} + \frac{1}{2}$，最小值为$\frac{7\sqrt{5}}{5} - \frac{1}{2}$。

1. 以 $ (2,-1) $ 为圆心，$ 4 $ 为半径的圆的标准方程为（C）
A.$ (x + 2)^{2}+(y - 1)^{2}=4 $
B.$ (x + 2)^{2}+(y + 1)^{2}=4 $
C.$ (x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=16 $
D.$ (x + 2)^{2}+(y - 1)^{2}=16 $

答案： C

2. （多选题）下列各点中，不在圆 $ (x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=25 $ 的外部的是（ACD）
A.$ (0,2) $
B.$ (3,3) $
C.$ (-2,2) $
D.$ (4,1) $

答案： ACD

3. 若点 $ P(-1,\sqrt{3}) $ 在圆 $ x^{2}+y^{2}=m $ 上，则实数 $ m = $4。

答案： $4$

4. （2022·全国甲卷）设点 $ M $ 在直线 $ 2x + y - 1 = 0 $ 上，点 $ (3,0) $ 和 $ (0,1) $ 均在 $ \odot M $ 上，则 $ \odot M $ 的方程为$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5$。

答案： 设圆心$M$的坐标为$(a,1 - 2a)$，因为点$(3,0)$和$(0,1)$均在$\odot M$上，
所以$|MC| = |MD|$（$C(3,0),D(0,1)$），
根据两点间距离公式$\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$，
可得$\sqrt{(a - 3)^2 + (1 - 2a - 0)^2} = \sqrt{(a - 0)^2 + (1 - 2a - 1)^2}$，
即$(a - 3)^2 + (1 - 2a)^2 = a^2 + (-2a)^2$，
展开得$a^2 - 6a + 9 + 1 - 4a + 4a^2 = a^2 + 4a^2$，
化简得$10a = 10$，
解得$a = 1$，
则圆心$M(1, - 1)$，
半径$r = \sqrt{(1 - 3)^2 + (-1 - 0)^2}=\sqrt{5}$，
所以$\odot M$的方程为$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5$。
故答案为：$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5$。