《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 2
如图，在三棱柱 $ABC - A'B'C'$ 中，已知 $\overrightarrow{AA'} = a$，$\overrightarrow{AB} = b$，$\overrightarrow{AC} = c$，点 $M$，$N$ 分别是 $BC'$，$B'C'$ 的中点，试用 $a$，$b$，$c$ 表示向量 $\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$.


变式探究
(变条件) 若把本例中的 “$\overrightarrow{AA'} = a$” 改为 “$\overrightarrow{AC'} = a$”，其他条件不变，则结果是什么？

答案： 典例2 解：$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC})=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CC}$$=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}=\frac{1}{2}(a+b+c)$.连接$A'N$(图略).$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{AC})$$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CC'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=a+\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c$.
变式探究
设长方体 $ABCD - A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$，已知$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{AC^{\prime}} = \boldsymbol{a}$。因为$\overrightarrow{AC^{\prime}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA^{\prime}}$，所以$\overrightarrow{AA^{\prime}}=\overrightarrow{AC^{\prime}} - \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$。

(一题多解) 已知矩形 $ABCD$，$P$ 为平面 $ABCD$ 外一点，$M$，$N$ 分别为 $PC$，$PD$ 上的点，且 $M$ 分 $PC$ 为 $PM:MC = 2$，$N$ 为 $PD$ 的中点，求满足 $\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} + z\overrightarrow{AP}$ 的实数 $x$，$y$，$z$ 的值.

答案：
对点练2. 解：法一：如图所示,取$PC$的中点$E$,
连接$NE$,则$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{EN}-\overrightarrow{EM}$.

因为$\overrightarrow{EN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$,
$\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{PC}=\frac{1}{6}\overrightarrow{PC}$,
连接$AC$,则$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP}$,
所以$\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP})$
$=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AP}$,
因为$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AP}$不共面,所以$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{6},z=\frac{1}{6}$.
法二：$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{PC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD})-\frac{2}{3}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC})=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}(-\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AP}$,
因为$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AP}$不共面,所以$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{6},z=\frac{1}{6}$.

典例 3
已知 $A$，$B$，$C$ 三点不共线，对平面 $ABC$ 外的任一点 $O$，若点 $M$ 满足 $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$.
(1) 判断 $\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$ 三个向量是否共面；
(2) 判断点 $M$ 是否在平面 $ABC$ 内.

答案： 典例3 解：
(1)因为$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$,
所以$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OM}$,所以$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC})$,
所以$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$,所以向量$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$共面.
(2)由
(1)知向量$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$共面,又这三个向量有公共点$M$,所以$M,A,B,C$共面,即点$M$在平面$ABC$内.

如图，在空间四边形 $ABCD$ 中，$H$，$G$ 分别是 $AD$，$CD$ 的中点，$E$，$F$ 分别是边 $AB$，$BC$ 上的点，且 $\frac{CF}{FB} = \frac{AE}{EB} = \frac{1}{3}$，$\overrightarrow{CA} = a$，$\overrightarrow{CB} = b$，$\overrightarrow{DC} = c$.
(1) 求 $\overrightarrow{FH}$ (用向量 $a$，$b$，$c$ 表示)；
(2) 求证：点 $E$，$F$，$G$，$H$ 四点共面.

答案： 对点练3. 解：
(1)因为$\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DH}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$
$=-\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD})=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$,
所以$\overrightarrow{FH}=\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}b-\frac{1}{2}c$.
(2)证明：由
(1)知$\overrightarrow{FH}=\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}b-\frac{1}{2}c$,
因为$\frac{CF}{FB}=\frac{AE}{EB}= \frac{1}{3}$,所以$\overrightarrow{EF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$,且$\overrightarrow{FE}//\overrightarrow{AC}$,
即$\overrightarrow{FE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}=\frac{3}{4}a,\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CG}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=-\frac{1}{4}b-\frac{1}{2}c$.
所以$\overrightarrow{FH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FG}$,又这三个向量有公共点$F$,所以点$E,F,G,H$四点共面.